54 Encuentra el menor número natural $ n$ tal que, si el conjunto $ \{1,2, \ldots, n\}$ se divide arbitrariamente en dos subconjuntos disjuntos, entonces uno de los subconjuntos contiene 3 números distintos tales que el producto de dos de ellos sea igual al tercero.

52 $ ABCD$ es un cuadrilátero. $ A'BCD'$ es el reflejo de $ ABCD$ respecto a $ BC,$ $ A''B'CD'$ es el reflejo de $ A'BCD'$ respecto a $ CD'$ y $ A''B''C'D'$ es el reflejo de $ A''B'CD'$ respecto a $ D'A''.$ Demuestra que; si las rectas $ AA''$ y $ BB''$ son paralelas, entonces $ ABCD$ es un cuadrilátero cíclico.

61 Cuarenta y nueve estudiantes resuelven un conjunto de 3 problemas. La puntuación de cada problema es un número entero de puntos de 0 a 7. Demuestra que existen dos estudiantes $ A$ y $ B$ tales que, para cada problema, $ A$ obtendrá al menos tantos puntos como $ B.$

56 Dado un conjunto de 1988 puntos en el plano. No hay cuatro puntos del conjunto que sean colineales. Los puntos de un subconjunto con 1788 puntos están coloreados de azul, los 200 restantes de rojo. Demuestra que existe una recta en el plano tal que cada una de las dos partes en las que la recta divide al plano contiene 894 puntos azules y 100 puntos rojos.

63 Sea \( p \) el producto de dos enteros consecutivos mayores que 2. Demuestra que no existen enteros \( x_1, x_2, \ldots, x_p \) que satisfagan la ecuación \[ \sum^p_{i = 1} x^2_i - \frac {4}{4 \cdot p + 1} \left( \sum^p_{i = 1} x_i \right)^2 = 1 \] O demuestra que solo hay dos valores de \( p \) para los cuales existen enteros \( x_1, x_2, \ldots, x_p \) que satisfacen \[ \sum^p_{i = 1} x^2_i - \frac {4}{4 \cdot p + 1} \left( \sum^p_{i = 1} x_i \right)^2 = 1 \]

64 Encuentra todos los enteros positivos $x$ tales que el producto de todos los dígitos de $x$ está dado por $x^2 - 10 \cdot x - 22.$

La sucesión de Fibonacci está definida por \[ a_{n+1} = a_n + a_{n-1}, n \geq 1, a_0 = 0, a_1 = a_2 = 1. \] Encuentra el máximo común divisor de los términos 1960-ésimo y 1988-ésimo de la sucesión de Fibonacci.

6 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, y sea $X$ un punto en su plano. Sean $M, N, P$ los pies de las perpendiculares desde $X$ a las rectas que contienen las alturas de $\triangle ABC$. Determina todas las posiciones de $X$ tales que $\triangle MNP$ sea congruente con $\triangle ABC$.

69 Sea \( Q \) el centro de la circunferencia inscrita de un triángulo \( ABC \). Demuestra que para cualquier punto \( P \), \[ a(PA)^2 + b(PB)^2 + c(PC)^2 = a(QA)^2 + b(QB)^2 + c(QC)^2 + (a + b + c)(QP)^2, \] donde \( a = BC \), \( b = CA \) y \( c = AB \).

Tenemos 98 tarjetas, cada una etiquetada con un número distinto del $1$ al $98$. Queremos ordenar las 98 tarjetas en una secuencia $(a_1, a_2, \dots, a_{98})$ tal que para cada par de números consecutivos $X$ y $Y$ en la secuencia, $|X - Y| > 48$. Determina cuántas secuencias de este tipo existen y describe su estructura.