2 Sea $p$ un primo impar congruente a 2 módulo 3. Demuestra que a lo más $p-1$ elementos del conjunto $\{m^2 - n^3 - 1 \mid 0 < m,\ n < p\}$ son divisibles por $p$ . Valentin

1 Sea $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$. El segmento $XY$ es el diámetro de la circunferencia circunscrita perpendicular a $BC$ y corta a $BC$ en $M$. El punto $X$ está más cerca de $M$ que $Y$, y $Z$ es el punto sobre $MY$ tal que $MZ = MX$. El punto $W$ es el punto medio de $AZ$. a) Demuestra que $W$ está sobre la circunferencia que pasa por los puntos medios de los lados de $ABC$; b) Demuestra que $MW$ es perpendicular a $AY$. Valentin

61 Demuestra que podemos llenar el espacio tridimensional con tetraedros regulares y octaedros regulares, todos con la misma longitud de arista. También encuentra la razón entre el número de tetraedros regulares usados y el número de octaedros regulares usados. Amir

8 Sea $n\ge 2$ un entero. Determina el número de enteros positivos $m$ tales que $m\le n$ y $m^2+1$ es divisible por $n$.

62 Sean \( a, b \in \mathbb{N} \) con \( 1 \leq a \leq b \), y \( M = \left[\frac{a + b}{2}\right] \). Define una función \( f: \mathbb{Z} \mapsto \mathbb{Z} \) por \[ f(n) = \begin{cases} n + a, & \text{si } n \leq M, \\ n - b, & \text{si } n > M. \end{cases} \] Sea \( f^1(n) = f(n) \), \( f_{i + 1}(n) = f(f^i(n)) \), \( i = 1, 2, \ldots \). Encuentra el menor número natural \( k \) tal que \( f^k(0) = 0 \).

63 Sea $P$ un punto dentro de un tetraedro regular $T$ de volumen unitario. Los cuatro planos que pasan por $P$ y son paralelos a las caras de $T$ dividen a $T$ en 14 piezas. Sea $f(P)$ el volumen conjunto de aquellas piezas que no son ni un tetraedro ni un paralelepípedo (es decir, piezas adyacentes a una arista pero no a un vértice). Encuentra las cotas exactas para $f(P)$ cuando $P$ varía sobre $T$.

64 Dado un conjunto $M$ de $m$ elementos y un subconjunto $K \subset M$ de $k$ elementos. Llamamos a una función $f: K \to M$ que tiene "camino", si existe un elemento $x_0 \in K$ tal que $f(x_0) = x_0$, o existe una cadena $x_0, x_1, \ldots, x_j = x_0 \in K$ tal que $x_i = f(x_{i-1})$ para $i = 1, 2, \ldots, j$. Encuentra el número de funciones $f: K \to M$ que tienen camino. Amir

65 Demuestra que todo entero \( k \) mayor que 1 tiene un múltiplo que es menor que \( k^4 \) y que puede escribirse en el sistema decimal con a lo sumo cuatro dígitos distintos.

7 Encuentra todos los pares de enteros positivos $(a,b)$ tales que $$a!+b!=a^b + b^a.$$

6 Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$ con $AB>AC$ y sea la recta $AI$ que intersecta al lado $BC$ en $D$. Supón que el punto $P$ está en el segmento $BC$ y satisface $PI=PD$. Además, sea $J$ el punto obtenido al reflejar $I$ sobre la mediatriz de $BC$, y sea $Q$ la otra intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABC$ y $APD$. Demuestra que $\angle BAQ=\angle CAJ$.