1 Sean $a_1,a_2,...,a_9$ reales no negativos con suma $1$ . Defina $S$ y $T$ como sigue: $$S=\min\{a_1,a_2\}+2\min\{a_2,a_3\}+...+9\min\{a_9,a_1\}$$ $$T=\max\{a_1,a_2\}+2\max\{a_2,a_3\}+...+9\max\{a_9,a_1\}$$ Cuando $S$ alcanza su máximo, halle todos los valores posibles de $T$ .

2 Sean $A,B,C,D,E$ puntos sobre una circunferencia $\omega$ que cumplen $AB=BD$ , $BC=CE$ . $AC$ corta a $BE$ en $P$ . $Q$ está sobre $DE$ tal que $BE//AQ$ . Suponga que $\odot(APQ)$ interseca a $\omega$ nuevamente en $T$ . $A'$ es el reflejo de $A$ respecto a $BC$ . Demuestre que $A'BPT$ se encuentra sobre la misma circunferencia.

3 Sea $S=\{1,2,...,N\}$ . Sean $A_1,A_2,A_3,A_4\subseteq S$ , cada uno con cardinalidad $500$ . Para cualesquiera $\forall x,y\in S$ , existe $\exists i\in\{1,2,3,4\}$ tal que $x,y\in A_i$ . Determine el valor máximo de $N$ .

4 Sea $k>2$ un entero. Sea $a_0,a_1,...$ una sucesión de enteros tal que $a_0=0$ , $a_{n+1}=ka_n-a_{n-1}$ . Demuestre que para cualquier entero positivo $m$ , $(2m)!|a_1a_2...a_{3m}$ .

1 En el triángulo ABC, X e Y están sobre la bisectriz del ángulo ∠BAC y ∠ABX=∠ACY. BX interseca a CY en P, y las circunferencias (BYP) y (CXP) se intersecan en Q, distinto de P. Demuestre que A, P, Q están sobre una recta.

2 Halle una condición necesaria y suficiente para $a,b,n\in\mathbb{N^*}$ tal que para $S=\{a+bt\mid t=0,1,2,\cdots,n-1\}$ , exista una aplicación biyectiva $f: S\to S$ tal que para todo $x\in S$ , $\gcd(x,f(x))=1$ .

3 Sean $\{a_n\}$ , $\{b_n\}$ sucesiones de números reales positivos que satisfacen $$a_n=\sqrt{\frac{1}{100} \sum\limits_{j=1}^{100} b_{n-j}^2}$$ y $$b_n=\sqrt{\frac{1}{100} \sum\limits_{j=1}^{100} a_{n-j}^2}$$ para todo $n\ge 101$ . Demuestre que existe $m\in \mathbb{N}$ tal que $|a_m-b_m|<0.001$ . Link

4 Hay 100 puntos sobre una circunferencia que están por colorearse con dos colores: rojo o azul. Halle el mayor número $k$ tal que, sin importar cómo se seleccionen y coloreen $k$ puntos, siempre se puedan colorear los restantes $100-k$ puntos de modo que se puedan conectar 50 pares de puntos del mismo color con segmentos de manera que dos segmentos cualesquiera no se intersequen.

1 Sea ${AB}$ un diámetro de una circunferencia ${\omega}$ con centro ${O}$ , ${OC}$ un radio de ${\omega}$ perpendicular a $AB$ , ${M}$ un punto del segmento $\left( OC \right)$ . Sea ${N}$ el segundo punto de intersección de la recta ${AM}$ con ${\omega}$ y ${P}$ el punto de intersección de las tangentes a ${\omega}$ en los puntos ${N}$ y ${B.}$ Demuestre que los puntos ${M,O,P,N}$ son concíclicos. (Albania)

1 Como se muestra en la figura, en el triángulo acutángulo $\vartriangle ABC$ , $AB > AC$ , $M$ es el punto medio del arco menor $BC$ de la circunferencia circunscrita $\Omega$ de $\vartriangle ABC$ . $K$ es el punto de intersección de la bisectriz del ángulo exterior $\angle BAC$ y de la prolongación de $BC$ . Desde el punto $A$ trácese una recta perpendicular a $BC$ y tómese un punto $D$ (distinto de $A$ ) sobre esa recta, tal que $DM = AM$ . Sea la circunferencia circunscrita de $\vartriangle ADK$ la que interseca a la circunferencia $\Omega$ en el punto $A$ y en otro punto $T$ . Demuestre que $AT$ biseca al segmento $BC$ . https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/1/3/6fde30405101620828d63ae31b8c0ffcec972f.png