Dado un cuadrilátero cíclico $ABCD$ , defina $E$ como $AD \cap BC$ y $F$ como $AB \cap CD$ . Sea $\Omega_A$ la circunferencia que pasa por $A, D$ y es tangente a $AB$ , y sea su centro $O_A$ . Sea $\Gamma_B$ la circunferencia que pasa por $B, C$ y es tangente a $AB$ , y sea su centro $O_B$ . Sea $\Gamma_C$ la circunferencia que pasa por $B, C$ y es tangente a $CD$ , y sea su centro $O_C$ . Sea $\Omega_D$ la circunferencia que pasa por $A, D$ y es tangente a $CD$ , y sea su centro $O_D$ . Demuestre que $O_AO_BO_CO_D$ es cíclico y demuestre que su centro está sobre $EF$ .

Sea \( n \) un entero positivo. Se da un grafo con \( 2n - 1 \) vértices tal que el tamaño del clique más grande del grafo es \( n \) . Demuestre que existe un vértice que está presente en todo clique de tamaño \( n\)

Sea \( \triangle ABC \) un triángulo isósceles con \( AB = AC \) . Sea \( D \) un punto sobre \( AC \) . Sea \( L \) un punto interior del triángulo tal que \( \angle CLD = 90^\circ \) y \[ CL \cdot BD = BL \cdot CD. \] Demuestre que el circuncentro del triángulo \( \triangle BDL \) está sobre la recta \( AB \) .

Sea \( G \) un grafo coloreado con \( k \) colores. Decimos que un vértice es forzado si tiene vecinos en todos los otros \( k - 1 \) colores. Demuestre que para cualquier grafo \( 2024 \) - regular \( G \) que no contiene triángulos ni cuadriláteros, existe una coloración con \( 2025 \) colores tal que al menos \( 1013 \) de los colores tienen un vértice forzado de ese color. Nota: La coloración del grafo debe ser válida, es decir, no puede haber \( 2 \) vértices del mismo color adyacentes.

4 Encuentre todas las ternas $(a, b, c)$ de enteros que satisfacen las ecuaciones $ a + b = c$ y $a^2 + b^3 = c^2$

Sea \( f(N) \) el número máximo de \( T \) - tetrominós que se pueden colocar en un tablero de \( N \times N \) de modo que cada \( T \) - tetrominó cubra al menos una casilla que no esté cubierta por ningún otro \( T \) - tetrominó. Halle el menor número real \( c \) tal que \[ f(N) \leq cN^2 \] para todos los enteros positivos \( N \) .

Demuestre que para todos los primos \( p \) tales que \( p \equiv 3 \pmod{4} \) o \( p \equiv 5 \pmod{8} \) , existen enteros \[ 1 \leq a_1 < a_2 < \cdots < a_{(p-1)/2} < p \] tales que \[ \prod_{\substack{1 \leq i < j \leq (p-1)/2}} (a_i + a_j)^2 \equiv 1 \pmod{p}. \]

2 Halle todos los triángulos que pueden dividirse en triángulos rectángulos isósceles congruentes con lados de longitudes $1, 1, \sqrt{2}$ .

3 En un triángulo $ABC$ , $\angle ACB=60^{\circ}$ . Los puntos $D, E$ están en los segmentos $BC, AC$ , respectivamente. Los puntos $K, L$ son tales que $ADK$ y $BEL$ son equiláteros, $A$ y $L$ están en lados opuestos de $BE$ , y $B$ y $K$ están en lados opuestos de $AD$ . Demuestre que $$AE+BD=KL.$$

4 Tres enteros no negativos están escritos en el pizarrón. En cada paso, los tres números $(a, b, c)$ se reemplazan por $a+b, b+c, c+a$ . Halle el mayor número de pasos tras los cuales el número $111$ aparecerá en el pizarrón.