1 Suponga que un triángulo escaleno acutángulo $ABC$ tiene incentro $I$ y circunferencia inscrita que toca a $BC$ en $D$ . Sea $Z$ el antípoda de $A$ en la circunferencia circunscrita de $ABC$ . El punto $L$ se elige sobre la bisectriz interior del ángulo $\angle BZC$ tal que $AL = LI$ . Sea $M$ el punto medio del arco $BZC$ , y sea $V$ el punto medio de $ID$ . Demuestre que $\angle IML = \angle DVM$

3 Sea $Q$ un conjunto de números primos, no necesariamente finito. Para un entero positivo $n$ considere su factorización en primos: defina $p(n)$ como la suma de todos los exponentes y $q(n)$ como la suma de los exponentes correspondientes únicamente a los primos de $Q$ . Un entero positivo $n$ se denomina especial si $p(n)+p(n+1)$ y $q(n)+q(n+1)$ son ambos enteros pares. Demuestre que existe una constante $c>0$ independiente del conjunto $Q$ tal que para cualquier entero positivo $N>100$ , el número de enteros especiales en $[1,N]$ es al menos $cN$ . (Por ejemplo, si $Q=\{3,7\}$ , entonces $p(42)=3$ , $q(42)=2$ , $p(63)=3$ , $q(63)=3$ , $p(2022)=3$ , $q(2022)=1$ . )

1 Sea $ABC$ un triángulo, y sea $D$ el pie de la $A-$ altura. Los puntos $P, Q$ se eligen sobre $BC$ tales que $DP = DQ = DA$ . Suponga que $AP$ y $AQ$ cortan a la circunferencia circunscrita de $ABC$ nuevamente en $X$ y $Y$ . Demuestre que las mediatrices de las rectas $PX$ , $QY$ y $BC$ son concurrentes. Propuesto por Pranjal Srivastava

3 Demuestre que para todos los enteros $k>2$ , existen $k$ enteros positivos distintos $a_1, \dots, a_k$ tales que $$\sum_{1 \le i<j \le k} \frac{1}{a_ia_j} =1.$$ Propuesto por Anant Mudgal

1 Los números $1,2,3,4,\ldots , 39$ están escritos en una pizarra. En un paso podemos elegir dos números $a$ y $b$ de la pizarra tales que $a$ divide a $b$ , y reemplazar $a$ y $b$ por el único número $\tfrac{b}{a}$ . Este proceso continúa hasta que ningún número de la pizarra divida a cualquier otro número. Sea $S$ el conjunto de números que queda en la pizarra al final. ¿Cuál es el menor valor posible de $|S|$ ? Propuesto por B.J. Venkatachala

9.1 Hay $2024$ rectángulos de $1 \times n$ para $n=1, 2, \ldots, 2024$. ¿Es posible formar un cuadrado usando algunos de ellos, tal que la longitud del lado del cuadrado sea mayor que $1$?

3 Sea $n$ cualquier entero positivo, y sea $S(n)$ el número de permutaciones $\tau$ de $\{1,\dots,n\}$ tales que $k^4+(\tau(k))^4$ es primo para todo $k=1,\dots,n$ . Demuestre que $S(n)$ es siempre un cuadrado.

1 En el triángulo $ABC$ con $\beta = \angle ABC \le \gamma = \angle ACB$ , el punto $ X$ está sobre el lado $AB$ y el punto $Y$ está sobre el lado $AC$ . Además $\angle XCB = \mu \gamma$ , $\angle YBC =\mu\beta$ con $0 \le \mu \le 1$ . Demuestre que $CX \le BY$ . ¿Cuándo se cumple la igualdad $CX = BY$ ?

3 Sean $A_1,A_2,...,A_{2n}$ $2n$ puntos distintos del plano, con $n > 1$ . $V$ es el conjunto de todos los segmentos $A_iA_j$ . Demuestre que si $M$ es un subconjunto de $V$ con al menos $n^2 + 1$ elementos, entonces existen al menos tres puntos $A_r$ , $A_s$ , $A_t$ ( $r, s$ y $t$ son distintos), tales que $A_rA_s$ , $A_rA_t$ y $A_sA_t$ son elementos de $M$ . Además, demuestre que la afirmación deja de ser válida si se reemplaza $n^2 + 1$ por un número menor.

4 Demuestre que para todos los enteros positivos $n$ , \[0 < \sum_{k=1}^n \frac{g(k)}{k} - \frac{2n}{3} < \frac{2}{3},\] donde $g(k)$ denota el mayor divisor impar de $k$ .