1 Evalúe la suma \[ \left\lfloor \frac{2^0}{3} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{2^1}{3} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{2^2}{3} \right\rfloor + \cdots + \left\lfloor \frac{2^{1000}}{3} \right\rfloor. \]

2 Sean $-1 < x_1 < x_2 , \cdots < x_n < 1$ y $x_1^{13} + x_2^{13} + \cdots + x_n^{13} = x_1 + x_2 + \cdots + x_n$ . Demuestre que si $y_1 < y_2 < \cdots < y_n$ , entonces \[ x_1^{13}y_1 + \cdots + x_n^{13}y_n < x_1y_1 + x_2y_2 + \cdots + x_ny_n. \]

3 En un triángulo escaleno acutángulo $ABC$ , la bisectriz del ángulo agudo entre las alturas $AA_1$ y $CC_1$ corta a los lados $AB$ y $BC$ en $P$ y $Q$ respectivamente. La bisectriz del ángulo $B$ interseca al segmento que une el ortocentro de $ABC$ con el punto medio de $AC$ en el punto $R$ . Demuestre que $P$ , $B$ , $Q$ , $R$ están sobre un círculo.

4 Se nos dan cinco pesas de aspecto idéntico con masas dos a dos distintas. Para cualesquiera tres pesas $A$ , $B$ , $C$ , podemos comprobar con una medición si $m(A) < m(B) < m(C)$ , donde $m(X)$ denota la masa de una pesa $X$ (la respuesta es sí o no .) ¿Podemos siempre ordenar las masas de las pesas en orden creciente con a lo sumo nueve mediciones?

5 Sea $M$ un conjunto finito de números, tal que entre cualesquiera tres de sus elementos hay dos cuya suma pertenece a $M$ . Halle el mayor número posible de elementos de $M$ .

6 Un número perfecto mayor que $6$ es divisible por $3$ . Demuestre que también es divisible por $9$ .

7 Dos círculos son tangentes interiormente en $N$ . Las cuerdas $BA$ y $BC$ del círculo mayor son tangentes al círculo menor en $K$ y $M$ respectivamente. $Q$ y $P$ son los puntos medios de los arcos $AB$ y $BC$ respectivamente. Las circunferencias circunscritas de los triángulos $BQK$ y $BPM$ se intersecan en $L$ . Demuestre que $BPLQ$ es un paralelogramo.

8 Algunos cuadrados de papel de $k$ colores distintos se colocan sobre una mesa rectangular, con los lados paralelos a los lados de la mesa. Suponga que para cualesquiera $k$ cuadrados de colores distintos, algunos dos de ellos pueden ser clavados a la mesa con un solo clavo. Demuestre que hay un color tal que todos los cuadrados de ese color pueden ser clavados con $2k-2$ clavos.

1 Halle todas las funciones $ f: \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ tales que \[f(x+y)+f(y+z)+f(z+x)\ge 3f(x+2y+3z)\] para todo $x, y, z \in \mathbb R$ .

2 Demuestre que se puede particionar el conjunto de los números naturales en $100$ subconjuntos no vacíos tales que entre cualesquiera tres números naturales $a$ , $b$ , $c$ que satisfacen $a+99b=c$ , haya dos que pertenezcan al mismo subconjunto.