6 La sucesión $x_0,x_1,x_2,.....$ de números reales se llama periódica con periodo $p$ , siendo $p$ un número natural, cuando para cada $p\ge2$ , $x_n=x_{n+p}$ . Demuestre que para cada $p\ge2$ existe una sucesión tal que $p$ es su periodo mínimo y $x_{n+1}=x_n-\frac{1}{x_n}$ $(n=0,1,....)$

1 Determine todos los números reales $x,y$ que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones \begin{align*} x^4 +y^4 & =17(x+y)^2 \\ xy & =2(x+y). \end{align*}

3 Considere un tablero cuadrado $N\times N$ donde $N\geq 3$ es un entero impar. La oruga Carl se encuentra en el centro del cuadrado; todas las demás casillas contienen enteros positivos distintos. Un entero $n$ pesa $1\slash n$ kilogramos. Carl quiere salir del tablero, pero puede comer a lo sumo $2$ kilogramos. Determine si Carl puede encontrar siempre una salida cuando a) $N=2003.$ b) $N$ es un entero impar arbitrario.

4 Desde los puntos medios de los lados de un triángulo acutángulo se trazan perpendiculares a los lados adyacentes. Las seis rectas resultantes delimitan un hexágono. Demuestre que su área es la mitad del área del triángulo original.

5 $n$ es un entero positivo. Sea $a(n)$ el menor número para el cual $n\mid a(n)!$ Halle todas las soluciones de: $$\frac{a(n)}{n}=\frac23$$

6 Demuestre que existen infinitos enteros positivos coprimos $a,b$ tales que $a$ divide a $b^2 -5$ y $b$ divide a $a^2 -5.$

1 Halle todos los números reales $a,b$ que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones \begin{align*} 2a^2 -2ab+b^2 &=a\\ 4a^2 -5ab +2b^2 & =b. \end{align*}

2 La distancia mínima de un conjunto finito de puntos distintos en el espacio es la longitud del segmento más corto cuyos dos extremos pertenecen a este conjunto y cuya longitud es mayor que $0$ . a) Demuestre que existe un conjunto de $8$ puntos sobre una esfera de radio $R$ cuya distancia mínima es mayor que $1,15R$ . b) ¿Existe un conjunto de $8$ puntos sobre una esfera de radio $R$ cuya distancia mínima es mayor que $1,2R$ ?

3 Demuestre que para todo número primo $p$ se cumple la igualdad $$\sum_{k=1}^{p-1}\left\lfloor\frac{k^3}{p}\right\rfloor=\frac{(p-2)(p-1)(p+1)}{4}$$

4 Dado un número real positivo $a_1$ , definimos recursivamente $a_{n+1} = 1+a_1 a_2 \cdots \cdot a_n.$ Además, sea $$b_n = \frac{1}{a_1 } + \frac{1}{a_2 } +\cdots + \frac{1}{a_n }.$$ Demuestre que $b_n < \frac{2}{a_1}$ para todos los enteros positivos $n$ y que esta es la menor cota posible.