5 Sean $P_1$, $P_2$, $\ldots$, $P_{1993} = P_0$ puntos distintos en el plano $xy$ con las siguientes propiedades: (i) ambas coordenadas de $P_i$ son enteros, para $i = 1, 2, \ldots, 1993$; (ii) no hay ningún punto distinto de $P_i$ y $P_{i+1}$ sobre el segmento de recta que une a $P_i$ con $P_{i+1}$ cuyas coordenadas sean ambas enteras, para $i = 0, 1, \ldots, 1992$. Demuestra que para algún $i$, $0 \leq i \leq 1992$, existe un punto $Q$ con coordenadas $(q_x, q_y)$ sobre el segmento de recta que une a $P_i$ con $P_{i+1}$ tal que tanto $2q_x$ como $2q_y$ son enteros impares.

1 Encuentra todos los pares ordenados de enteros positivos $(x, y)$ tales que: $$x^3+y^3=x^2+42xy+y^2.$$

2 Considera un triángulo acutángulo $ABC$ con $AB<AC$ y sea $\omega$ su circunferencia circunscrita. Sean $t_B$ y $t_C$ las tangentes a la circunferencia $\omega$ en los puntos $B$ y $C$, respectivamente, y sea $L$ su intersección. La recta que pasa por el punto $B$ y es paralela a $AC$ corta a $t_C$ en el punto $D$. La recta que pasa por el punto $C$ y es paralela a $AB$ corta a $t_B$ en el punto $E$. La circunferencia circunscrita del triángulo $BDC$ corta a $AC$ en $T$, donde $T$ está entre $A$ y $C$. La circunferencia circunscrita del triángulo $BEC$ corta a la recta $AB$ (o su extensión) en $S$, donde $B$ está entre $S$ y $A$. Demuestra que $ST$, $AL$ y $BC$ son concurrentes. $\text{Vangelis Psychas and Silouanos Brazitikos}$ Ferid.---.

3 Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos. Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N}$ tales que \[n+f(m)\mid f(n)+nf(m)\] para todos $m,n\in \mathbb{N}$. Propuesto por Dorlir Ahmeti, Albania

15 Sea \(ABCD\) un cuadrilátero convexo cuyas diagonales se intersectan en \(O\) formando un ángulo \(\theta\). Definimos \(OA = a, OB = b, OC = c\) y \(OD = d\), con \(c > a > 0\) y \(d > b > 0\). Demuestra que si existe un cono circular recto con vértice \(V\), con las propiedades: (1) su eje pasa por \(O\), y (2) su superficie curva pasa por \(A,B,C\) y \(D\), entonces \[ OV^2=\frac{d^2b^2(c + a)^2 - c^2a^2(d + b)^2}{ca(d - b)^2 - db(c - a)^2}. \] Demuestra también que si \(\frac{c+a}{d+b}\) está entre \(\frac{ca}{db}\) y \(\sqrt{\frac{ca}{db}}\), y \(\frac{c-a}{d-b}=\frac{ca}{db}\), entonces para una elección adecuada de \(\theta\), existe un cono circular recto con las propiedades (1) y (2).

4 Sobre una mesa circular se sientan $\displaystyle {n> 2}$ estudiantes. Inicialmente, cada estudiante tiene exactamente un caramelo. En cada paso, cada estudiante elige una de las siguientes acciones: (A) Le da un caramelo al estudiante sentado a su izquierda o al estudiante sentado a su derecha. (B) Separa todos sus caramelos en dos conjuntos, posiblemente vacíos, y le da un conjunto al estudiante sentado a su izquierda y el otro al estudiante sentado a su derecha. En cada paso, los estudiantes realizan las acciones que eligieron al mismo tiempo. Una distribución de caramelos se llama legítima si puede ocurrir después de un número finito de pasos. Encuentra el número de distribuciones legítimas. (Dos distribuciones son diferentes si hay un estudiante que tiene una cantidad diferente de caramelos en cada una de ellas.) (Perdón por mi pobre inglés)

10 ¿De cuántas maneras diferentes se pueden colocar tres caballos en un tablero de ajedrez para que el número de casillas atacadas sea máximo? Amir

8 Demuestra que para todo entero positivo \(m\) podemos encontrar un conjunto finito \(S\) de puntos en el plano, tal que dado cualquier punto \(A\) de \(S\), hay exactamente \(m\) puntos en \(S\) a distancia unitaria de \(A\).

7 En un triángulo \(ABC\), sea \(H\) su ortocentro, \(O\) su circuncentro y \(R\) su circunradio. Demuestra que: (a) \(|OH| = R \sqrt{1-8 \cos \alpha \cdot \cos \beta \cdot \cos \gamma}\) donde \(\alpha, \beta, \gamma\) son los ángulos del triángulo \(ABC\); (b) \(O \equiv H\) si y solo si \(ABC\) es equilátero.

Trece marcianos, un venusiano y un humano residen en Plutón. Un día hacen la siguiente conversación: Marciano: He pasado $1/12$ de mi vida en Plutón. Humano: Yo también. Venusiano: Yo también. Marciano: Pero el venusiano y yo hemos pasado mucho más tiempo aquí que tú, humano. Humano: Eso es cierto. Sin embargo, el venusiano y yo tenemos la misma edad. Venusiano: Sí, he vivido $300$ años terrestres. Marciano: El venusiano y yo hemos estado en Plutón durante los últimos $13$ años. Se sabe que el humano y el marciano juntos han vivido $104$ años terrestres. Encuentra las edades del marciano, el venusiano y el humano.* * *: Nota que los números en el problema no están necesariamente en base $10.$ Amir