2 $a,b,c$ son números naturales distintos. ¿Podemos construir un polinomio cuadrático $P(x)=kx^2+lx+m$ , con $k,l,m$ enteros, $k>0$ , tal que para algunos puntos enteros tome los valores $a^3,b^3,c^3$ ?

3 En el triángulo escaleno $ABC$ , $\angle ACB=60$ y $\Omega$ es su circuncírculo. Sobre las bisectrices de los ángulos $BAC$ y $CBA$ se eligen los puntos $A^\prime$ , $B^\prime$ , respectivamente, tales que $AB^\prime \parallel BC$ y $BA^\prime \parallel AC$ . $A^\prime B^\prime$ interseca a $\Omega$ en $D,E$ . Demuestre que el triángulo $CDE$ es isósceles.(A. Kuznetsov)

4 Cada casilla de la tabla $100\times 100$ está coloreada de negro o blanco. Toda casilla del borde de la tabla es negra. Se sabe que en todo cuadrado $2\times 2$ hay casillas de dos colores. Demuestre que existe un cuadrado $2\times 2$ coloreado en orden de ajedrez.

1 $f_1(x)=x^2+p_1x+q_1,f_2(x)=x^2+p_2x+q_2$ son dos parábolas. $l_1$ y $l_2$ son dos rectas no paralelas. Se sabe que los segmentos que las parábolas cortan sobre la $l_1$ son iguales, y que los segmentos que las parábolas cortan sobre la $l_2$ también son iguales. Demuestre que las parábolas son iguales.

2 Sea $ABC$ un triángulo isósceles acutángulo con $AB=AC$ y circuncentro $O$ . Las rectas $BO$ y $CO$ intersecan a $AC$ y $AB$ , respectivamente, en $B'$ y $C'$ . Se traza una recta $l$ por $C'$ paralela a $AC$ . Demuestre que la recta $l$ es tangente al circuncírculo de $\triangle B'OC$ .

3 Hay 3 montones con $100,101,102$ piedras. Ilya y Kostya juegan el siguiente juego. En cada paso toman una piedra de algún montón, pero no del mismo que en el paso anterior. Hacen sus pasos por turnos; Ilya hace el primer paso. El jugador pierde si no puede hacer un paso. ¿Quién tiene la estrategia ganadora?

2 Halle todas las cuádruplas $ (m,n,p,q) \in \mathbb{Z}^4$ tales que \[ p^m q^n = (p+q)^2 + 1.\]

8 En un triángulo no isósceles $ABC$ , $O$ e $I$ son el circuncentro y el incentro, respectivamente. $B^\prime$ es el reflejo de $B$ respecto de $OI$ y está dentro del ángulo $ABI$ . Demuestre que las tangentes al circuncírculo de $\triangle BB^\prime I$ en $B^\prime$ e $I$ se intersecan sobre $AC$ . (A. Kuznetsov)

1 $S=\sin{64x}+\sin{65x}$ y $C=\cos{64x}+\cos{65x}$ son ambos racionales para algún $x$ . Demuestre que para una de estas sumas ambos sumandos también son racionales.

3 Hay $n$ números reales positivos en el pizarrón $a_1,\ldots, a_n$ . Alguien quiere escribir $n$ números reales $b_1,\ldots,b_n$ tales que: $b_i\geq a_i$ ; si $b_i \geq b_j$ , entonces $\frac{b_i}{b_j}$ es entero. Demuestre que es posible escribir tales números con la condición $$b_1 \cdots b_n \leq 2^{\frac{n-1}{2}}a_1\cdots a_n.$$