2 ¿Para cuáles $ n\in \mathbb{N}$ existen números racionales $ a,b$ que no son enteros tales que tanto $ a + b$ como $ a^n + b^n$ son enteros?

3 Se toma un punto $ M$ sobre el lado $ BC$ de un triángulo $ ABC$ tal que el baricentro $ T_c$ del triángulo $ ABM$ está sobre la circunferencia circunscrita de $ \triangle ACM$ y el baricentro $ T_b$ de $ \triangle ACM$ está sobre la circunferencia circunscrita de $ \triangle ABM$ . Demuestre que las medianas de los triángulos $ ABM$ y $ ACM$ trazadas desde $ M$ tienen la misma longitud.

4 Sea $ S$ el conjunto de todos los enteros positivos impares menores que $ 30m$ que no son múltiplos de $ 5$ , donde $ m$ es un entero positivo dado. Halle el menor entero positivo $ k$ tal que cada subconjunto de $ k$ elementos de $ S$ contiene dos números distintos, uno de los cuales divide al otro.

3 Una recta corta a un semicírculo de diámetro $AB$ y centro $O$ en $C$ y $D$ , y a la recta $AB$ en $M$ , donde $MB < MA$ y $MD < MC.$ Si las circunferencias circunscritas de los triángulos $AOC$ y $DOB$ se cortan nuevamente en $K,$ demuestre que $\angle MKO$ es recto.

1 Halle todos los pares $(m, n)$ de números naturales para los cuales los números $m^2 - 4n$ y $n^2 - 4m$ son ambos cuadrados perfectos.

2 Sea $B$ un punto de una circunferencia $k_1, A \ne B$ un punto de la tangente a la circunferencia en $B$ , y $C$ un punto que no está sobre $k_1$ para el cual el segmento $AC$ corta a $k_1$ en dos puntos distintos. La circunferencia $k_2$ es tangente a la recta $AC$ en $C$ y a $k_1$ en el punto $D$ , y no se encuentra en el mismo semiplano que $B$ . Demuestre que el circuncentro del triángulo $BCD$ está sobre la circunferencia circunscrita de $\vartriangle ABC$

3 ¿Para cuáles $n \in N$ es posible organizar un torneo de tenis de dobles con $n$ jugadores tal que cada jugador tenga a cada uno de los demás como oponente exactamente una vez?

1 En cierto idioma hay $n$ letras. Una sucesión de letras es una palabra si no hay dos letras iguales entre otras dos letras iguales. Halle el número de palabras de longitud máxima.

2 Un cuadrilátero $ABCD$ está circunscrito a una circunferencia. Las rectas $AC$ y $DC$ se cortan en el punto $E$ y las rectas $DA$ y $BC$ se cortan en $F$ , donde $B$ está entre $A$ y $E$ y entre $C$ y $F$ . Sean $I_1, I_2$ e $I_3$ los incentros de los triángulos $AFB, BEC$ y $ABC$ , respectivamente. La recta $I_1I_3$ corta a $EA$ en $K$ y a $ED$ en $L$ , mientras que la recta $I_2I_3$ corta a $FC$ en $M$ y a $FD$ en $N$ . Demuestre que $EK = EL$ si y solo si $FM = FN$

3 Demuestre que si $n$ es un número natural tal que $1 + 2^n + 4^n$ es primo, entonces $n = 3^k$ para algún $k \in N_0$ .