3 Determine todos los enteros $ n\geq 2$ que tienen la siguiente propiedad: para cualesquiera enteros $a_1,a_2,\ldots, a_n$ cuya suma no es divisible por $n$ , existe un índice $1 \leq i \leq n$ tal que ninguno de los números $$a_i,a_i+a_{i+1},\ldots,a_i+a_{i+1}+\ldots+a_{i+n-1}$$ es divisible por $n$ . Aquí, ponemos $a_i=a_{i-n}$ cuando $i >n$ . Propuesto por Warut Suksompong, Tailandia

1 Sean $P_c(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+1$ y $Q_c(x)=x^4+cx^3+bx^2+ax+1$ con $a,b$ números reales, $c \in \{1,2, \dots, 2017\}$ un entero y $a \ne c$ . Defínanse $A_c=\{\alpha | P_c(\alpha)=0\}$ y $B_c=\{\beta | P(\beta)=0\}$ . (a) Halle el número de pares no ordenados de polinomios $P_c(x), Q_c(x)$ con exactamente dos raíces comunes. (b) Para cualquier $1 \le c \le 2017$ , halle la suma de los elementos de $A_c \Delta B_c$ .

2 Halle todos los enteros positivos $p,q,r,s>1$ tales que $$p!+q!+r!=2^s.$$

3 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico inscrito en la circunferencia $\Omega$ con $AC \perp BD$ . Sean $P=AC \cap BD$ y $W,X,Y,Z$ las proyecciones de $P$ sobre las rectas $AB, BC, CD, DA$ respectivamente. Sean $E,F,G,H$ los puntos medios de los lados $AB, BC, CD, DA$ respectivamente. (a) Demuestre que $E,F,G,H,W,X,Y,Z$ son concíclicos. (b) Si $R$ es el radio de $\Omega$ y $d$ es la distancia entre su centro y $P$ , halle el radio de la circunferencia del inciso (a) en términos de $R$ y $d$ .

1 En un triángulo acutángulo $ABC$ , los puntos $D$ y $E$ se encuentran sobre el lado $BC$ con $BD<BE$ . Sean $O_1, O_2, O_3, O_4, O_5, O_6$ los circuncentros de los triángulos $ABD, ADE, AEC, ABE, ADC, ABC$ , respectivamente. Demuestre que $O_1, O_3, O_4, O_5$ son concíclicos si y solo si $A, O_2, O_6$ son colineales.

2 Sean $a,b,c,d$ enteros positivos distintos dos a dos tales que $$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}$$ es un entero. Demuestre que $a+b+c+d$ no es un número primo.

3 Hay $n$ lámparas $L_1, L_2, \dots, L_n$ dispuestas en un círculo en ese orden. En cualquier instante dado, cada lámpara está encendida o apagada. Cada segundo, cada lámpara experimenta un cambio de acuerdo con la siguiente regla: (a) Para cada lámpara $L_i$ , si $L_{i-1}, L_i, L_{i+1}$ tienen el mismo estado en el segundo anterior, entonces $L_i$ está apagada en ese momento. (Los índices se toman módulo $n$ . ) (b) En caso contrario, $L_i$ está encendida en ese momento. Inicialmente, todas las lámparas están apagadas, excepto $L_1$ que está encendida. Demuestre que para infinitos enteros $n$ todas las lámparas estarán apagadas eventualmente, después de una cantidad finita de tiempo.

1 Sean $a,b,c$ números reales positivos distintos con $abc=1$ . Demuestre que $$\sum_{\text{cyc}} \frac{a^6}{(a-b)(a-c)}>15.$$

2 Defínase una sucesión de enteros $a_0=m, a_1=n$ y $a_{k+1}=4a_k-5a_{k-1}$ para todo $k \ge 1$ . Suponga que $p>5$ es un primo con $p \equiv 1 \pmod{4}$ . Demuestre que es posible elegir $m,n$ tales que $p \nmid a_k$ para todo $k \ge 0$ .

3 Sea $n \ge 1$ un entero positivo. Una matriz $n \times n$ se llama buena si cada entrada es un entero no negativo y la suma de las entradas de cada fila y de cada columna es igual. Una matriz de permutación es una matriz $n \times n$ formada por $n$ unos y $n(n-1)$ ceros tal que cada fila y cada columna tiene exactamente una entrada no nula. Demuestre que toda matriz buena es una suma de una cantidad finita de matrices de permutación.