Sea $n$ un entero positivo y $\mathcal S$ el conjunto de puntos $(x, y)$ con $x, y \in \{1, 2, \ldots , n\}$. Sea $\mathcal T$ el conjunto de todos los cuadrados con vértices en el conjunto $\mathcal S$. Denotamos por $a_k$ ($k \geq 0$) el número de pares (no ordenados) de puntos para los cuales hay exactamente $k$ cuadrados en $\mathcal T$ que tienen estos dos puntos como vértices. Demuestra que $a_0 = a_2 + 2a_3$. Yugoslavia Valentin

1 Sea $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$. El segmento $XY$ es el diámetro de la circunferencia circunscrita perpendicular a $BC$ y corta a $BC$ en $M$. El punto $X$ está más cerca de $M$ que $Y$, y $Z$ es el punto sobre $MY$ tal que $MZ = MX$. El punto $W$ es el punto medio de $AZ$. a) Demuestra que $W$ está sobre la circunferencia que pasa por los puntos medios de los lados de $ABC$; b) Demuestra que $MW$ es perpendicular a $AY$. Valentin

2 Sea $p$ un primo impar congruente a 2 módulo 3. Demuestra que a lo más $p-1$ elementos del conjunto $\{m^2 - n^3 - 1 \mid 0 < m,\ n < p\}$ son divisibles por $p$ . Valentin

3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo de área 1. Demuestra que el triángulo cuyos vértices son los pies de las perpendiculares desde el centroide $G$ a $AB$, $BC$, $CA$ tiene área entre $\frac 4{27}$ y $\frac 14$. Valentin

Sea $\{a_n\}_{n\geq 0}$ una sucesión no decreciente y no acotada de enteros no negativos con $a_0=0$. Sea $b_n$ el número de miembros de la sucesión que no exceden a $n$. Demuestra que \[ (a_0 + a_1 + \cdots + a_m)( b_0 + b_1 + \cdots + b_n ) \geq (m + 1)(n + 1). \] Valentin

L2

1 Un número de tres cifras $\overline{abc}$, con $a\neq 0$ y $b\neq 0$, es bacana si los números de dos cifras $\overline{ab}, \overline{bc}, \overline{ac}$ son divisores de $\overline{abc}$. Encuentra todos los números bacanas.

2 Una sucesión infinita de enteros satisface las siguientes propiedades: el primer término es $1$, la sucesión es estrictamente creciente, y para cada $n>1$, el n-ésimo término es menor o igual que $2n-2$. Demuestra que existen dos términos $a$ y $b$ en la sucesión tales que $a-b=2025$.

3 Sea $ABCD$ un paralelogramo con $\angle ABC>90^{\circ}$. Se construye un cuadrado $ABEF$ externamente sobre el lado $AB$. Sea $F'$ la reflexión del punto $F$ respecto a la recta $DE$. Determina la medida de $\angle BF'C$.

3 Sean $a$ y $b$ números naturales con $a > b$ y de la misma paridad. Demuestra que las soluciones de la ecuación \[ x^2 - (a^2 - a + 1)(x - b^2 - 1) - (b^2 + 1)^2 = 0 \] son números naturales, ninguno de los cuales es un cuadrado perfecto. Albania Valentin