3 Halle el valor máximo de \[S = \sqrt[3]{\frac{a}{b+7}} + \sqrt[3]{\frac{b}{c+7}} + \sqrt[3]{\frac{c}{d+7}} + \sqrt[3]{\frac{d}{a+7}},\] donde $a$ , $b$ , $c$ , $d$ son números reales no negativos que satisfacen $a+b+c+d = 100$ . Propuesto por Evan Chen, Taiwán

3 En una escuela hay 1200 estudiantes. Cada estudiante debe pertenecer a exactamente $k$ clubes. Dado que existe un club común al que pertenecen cualesquiera 23 estudiantes, pero no existe un club común al que pertenezcan los 1200 estudiantes, halle el menor valor posible de $k$ .

4 Halle infinitos enteros positivos $m$ tales que para cada $m$ , el número $\dfrac{2^{m-1}-1}{8191m}$ es un entero.

5 En un grupo de 2017 personas, cualquier par de personas tiene exactamente un amigo común (distinto del par de personas). Determine el menor valor posible de la diferencia entre los números de amigos de la persona con más amigos y la persona con menos amigos en tal grupo.

6 Un triángulo $ABC$ tiene su ortocentro $H$ distinto de sus vértices y del circuncentro $O$ de $\triangle ABC$ . Denótese por $M, N$ y $P$ respectivamente los circuncentros de los triángulos $HBC, HCA$ y $HAB$ . Demuestre que las rectas $AM, BN, CP$ y $OH$ son concurrentes.

1 Sea $ABC$ un triángulo con $AB=AC$ . Una circunferencia $\Gamma$ está fuera del triángulo $ABC$ y es tangente a la recta $AC$ en $C$ . El punto $D$ está sobre $\Gamma$ de modo que la circunferencia circunscrita del triángulo $ABD$ es tangente internamente a $\Gamma$ . El segmento $AD$ corta a $\Gamma$ por segunda vez en $E$ . Demuestre que $BE$ es tangente a $\Gamma$

2 Hay tres montones de monedas, con $a,b$ y $c$ monedas respectivamente, donde $a,b,c\geq2015$ son enteros positivos. Las siguientes operaciones están permitidas: (1) Elegir un montón con un número par de monedas y retirar todas las monedas de este montón. Añadir a cada uno de los dos montones restantes una cantidad de monedas igual a la mitad de las retiradas; o (2) Elegir un montón con un número impar de monedas y al menos 2017 monedas. Retirar 2017 monedas de este montón. Añadir 1009 monedas a cada uno de los dos montones restantes. Suponga que hay suficientes monedas de repuesto. Halle todas las ternas ordenadas $(a,b,c)$ tales que después de alguna sucesión finita de operaciones permitidas, exista un montón con al menos $2017^{2017}$ monedas.

3 Halle todas las funciones $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ tales que $$f(f(xy-x))+f(x+y)=yf(x)+f(y)$$ para todos los números reales $x$ e $y$ .

4 En el triángulo $ABC$ con incentro $I$ , sean $M_A,M_B$ y $M_C$ los puntos medios de $BC, CA$ y $AB$ respectivamente, y sean $H_A,H_B$ y $H_C$ los pies de las alturas desde $A,B$ y $C$ a los lados respectivos. Denótese por $\ell_b$ la recta tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ que pasa por $B$ , y denótese por $\ell_b'$ la reflexión de $\ell_b$ en $BI$ . Sea $P_B$ la intersección de $M_AM_C$ y $\ell_b$ , y sea $Q_B$ la intersección de $H_AH_C$ y $\ell_b'$ . Defínanse $\ell_c,\ell_c',P_C,Q_C$ análogamente. Si $R$ es la intersección de $P_BQ_B$ y $P_CQ_C$ , demuestre que $RB=RC$ .

1 ¿Existe un polinomio $P(x)$ con coeficientes enteros tal que $P(1+\sqrt[3]{2})=1+\sqrt[3]{2}$ y $P(1+\sqrt5)=2+3\sqrt5$ ?