8 En un baile escolar bailaron $2n$ chicas y $2n$ chicos. Se sabe que, para cada dos chicas, el número de chicos que bailaron con exactamente una de ellas es igual a $n$ . Demuestre que lo mismo es cierto para los chicos, es decir, para cada dos chicos, el número de chicas que bailaron con exactamente uno de ellos es igual a $n$ .

1 Halle todos los polinomios de grado $\leq n$ y coeficientes no negativos tales que $P(x)P(\frac{1}{x}) \leq P(1)^2$ para todo $x$ positivo.

2 Las circunferencias $S_1$ y $S_2$ , con centros $O_1$ y $O_2$ , respectivamente, pasan por los centros una de la otra. Sea $A$ uno de sus puntos de intersección. Dos puntos $M_1$ y $M_2$ comienzan a moverse simultáneamente partiendo de $A$ . El punto $M_1$ se mueve a lo largo de $S_1$ y el punto $M_2$ se mueve a lo largo de $S_2$ . Ambos puntos se mueven en sentido horario y tienen la misma velocidad lineal $v$ . (a) Demuestre que todos los triángulos $AM_1M_2$ son equiláteros. (b) Determine la trayectoria del movimiento del centro del triángulo $AM_1M_2$ y halle su velocidad lineal.

6 Decimos que un entero positivo $k$ es tricúbico si existen tres enteros positivos $a, b, c,$ no necesariamente distintos, tales que $k=a^3+b^3+c^3.$ a) Demuestra que hay infinitos enteros positivos $n$ que satisfacen la siguiente condición: exactamente uno de los tres números $n, n+2$ y $n+28$ es tricúbico. b) Demuestra que hay infinitos enteros positivos $n$ que satisfacen la siguiente condición: exactamente dos de los tres números $n, n+2$ y $n+28$ son tricúbicos. c) Demuestra que hay infinitos enteros positivos $n$ que satisfacen la siguiente condición: los tres números $n, n+2$ y $n+28$ son tricúbicos.

3 Se da una tabla de $2n \times 2m$ $(m,n \in \mathbb{N})$ con uno de dos signos ”+” o ”-” en cada una de sus celdas. A la unión de todas las celdas de alguna fila y de alguna columna se la llama cruz. A la celda en la intersección de esta fila y esta columna se la llama centro de la cruz. Al siguiente procedimiento lo llamamos transformación de la tabla: marcamos todas las celdas que contienen ”−” y luego, por turnos, reemplazamos por los signos opuestos los signos de todas las celdas de las cruces cuyos centros están marcados. (Es fácil ver que el orden de elección de las cruces no importa.) Llamamos alcanzable a una tabla si puede obtenerse a partir de alguna tabla aplicando tales transformaciones una sola vez. Halle el número de todas las tablas alcanzables.

4 Cada punto de una circunferencia está pintado con uno de los $ N$ colores ( $N \geq 2$ ) . Demuestre que existe un trapecio inscrito tal que todos sus vértices están pintados del mismo color.

5 Sea $O$ el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero convexo $ABCD$ , con $AO = CO$ . Se marcan los puntos $P$ y $Q$ en los segmentos $AO$ y $CO$ , respectivamente, tales que $PO = OQ$ . Sean $N$ y $K$ los puntos de intersección de los lados $AB$ , $CD$ con las rectas $DP$ y $BQ$ , respectivamente. Demuestre que los puntos $N$ , $O$ y $K$ son colineales.

6 Sea $a$ la suma y $b$ el producto de las raíces reales de la ecuación $x^4-x^3-1=0$ . Demuestre que $b < -\frac{11}{10}$ y $a > \frac{6}{11}$ .

7 Halle las soluciones en enteros positivos: $$n^5+n^4=7^m-1$$

8 Sea $(m,n)$ un par de enteros positivos. (a) Demuestre que el conjunto de todos los enteros positivos puede particionarse en cuatro subconjuntos no vacíos disjuntos dos a dos tales que ninguno de ellos contiene dos números cuyo valor absoluto de su diferencia sea igual a $m$ , $n$ o $m+n$ . (b) Halle todos los pares $(m,n)$ para los cuales el conjunto de todos los enteros positivos no puede particionarse en tres subconjuntos no vacíos disjuntos dos a dos que satisfagan la condición anterior.