Hay $n \geq 1$ cuadernos, numerados del $1$ al $n$ , apilados en una pila. Zahar repite la siguiente operación: elige al azar un cuaderno cuyo número $k$ no corresponde a su ubicación en esta pila, contando de arriba hacia abajo, y lo devuelve a la posición $k$ -ésima contando desde arriba, sin cambiar la ubicación de los demás cuadernos. Si no existe tal cuaderno, se detiene. ¿Está garantizado que Zahar ordenará todos los cuadernos en orden ascendente de números en una cantidad finita de operaciones? Propuesto por Zahar Naumets

4 Sea $n$ un entero positivo. En la retícula infinita $\mathbb{Z}^2$ , $n$ puntos están coloreados de rojo mientras que el resto está coloreado de azul. Cada punto rojo está etiquetado con la distancia al punto azul más cercano en la misma fila o columna. Halle el menor número real $\alpha$ para el cual la suma de todas las etiquetas no supera $100n^\alpha$ , independientemente de $n$ y de la colocación de los puntos rojos. (Nota: Una fila es el conjunto de puntos con una $y$ - coordenada dada, y una columna es el conjunto de puntos con una $x$ - coordenada dada.) Ruben Carpenter

10.1 ¿Cuántas soluciones en enteros no negativos tiene la ecuación \[ x + 3y + 9z = 900 \]?

2 Halle todos los primos $p$ tales que existen enteros positivos $x,y$ que satisfacen $x(y^2-p)+y(x^2-p)=5p$

4 Sea $P=[a_{ij}]_{3\times 9}$ una matriz $3\times 9$ donde $a_{ij}\ge 0$ para todo $i,j$ . Se dan las siguientes condiciones: cada fila consta de números distintos; $\sum_{i=1}^{3}x_{ij}=1$ para $1\le j\le 6$ ; $x_{17}=x_{28}=x_{39}=0$ ; $x_{ij}>1$ para todo $1\le i\le 3$ y $7\le j\le 9$ tal que $j-i\not= 6$ . Las tres primeras columnas de $P$ satisfacen la siguiente propiedad $(R)$ : para una columna arbitraria $[x_{1k},x_{2k},x_{3k}]^T$ , $1\le k\le 9$ , existe un $i\in\{1,2,3\}$ tal que $x_{ik}\le u_i=\min (x_{i1},x_{i2},x_{i3})$ . Demuestre que: a) los elementos $u_1,u_2,u_3$ provienen de tres columnas distintas; b) si una columna $[x_{1l},x_{2l},x_{3l}]^T$ de $P$ , donde $l\ge 4$ , satisface la condición de que, después de reemplazar la tercera columna de $P$ por ella, las tres primeras columnas de la matriz recién obtenida $P'$ siguen teniendo la propiedad $(R)$ , entonces esta columna existe de manera única.

2 Dado un entero fijo $k>0,r=k+0.5$ , defina $f^1(r)=f(r)=r[r],f^l(r)=f(f^{l-1}(r))(l>1)$ donde $[x]$ denota el menor entero no menor que $x$ . Demuestre que existe un entero $m$ tal que $f^m(r)$ es un entero.

1 Sea $\omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo acutángulo $ABC$ , donde $\angle A<\angle B$ , y sean $M,N$ los puntos medios de los arcos menores $BC,AC$ de $\omega$ , respectivamente. La recta $PC$ es paralela a $MN$ e interseca a $\omega$ en $P$ (distinto de $C$ ) . Sea $I$ el incentro de $ABC$ y sea $PI$ la recta que interseca a $\omega$ nuevamente en el punto $T$ . 1) Demuestre que $MP\cdot MT=NP\cdot NT$ ; 2) Sea $Q$ un punto arbitrario del arco menor $AB$ y sean $I,J$ los incentros de los triángulos $AQC,BCQ$ . Demuestre que $Q,I,J,T$ son concíclicos .

8 Los puntos $P_1,\dots,P_{1024}$, distintos dos a dos y situados en una circunferencia, están marcados con números reales distintos $a_1,\dots,a_{1024}$. Sea $P_i$ $Q-$bueno para un punto $Q$ de la circunferencia diferente de $P_1,\dots,P_{1024}$, si y solo si $a_i$ es el mayor número en al menos uno de los dos arcos $P_iQ$. Sea la puntuación de $Q$ el número de puntos $Q-$bueno en la circunferencia. Determine el mayor $k$ tal que, independientemente de los valores de $a_1,\dots,a_{1024}$, existe un punto $Q$ con puntuación al menos $k$.

3 Sean $a_0, a_1, \ldots, a_9$ y $b_1 , b_2, \ldots,b_9$ enteros positivos tales que $a_9<b_9$ y $a_k \neq b_k, 1 \leq k \leq 8.$ En un cajero automático hay $n\geq a_9$ levas (moneda nacional de Bulgaria) y para cada $1 \leq i \leq 9$ podemos retirar $a_i$ levas del cajero (si en el banco hay al menos $a_i$ levas). Inmediatamente después de esa acción el banco deposita $b_i$ levas en el cajero o retiramos $a_0$ levas. Si retiramos $a_0$ levas del cajero, el banco no deposita dinero en el cajero. Halle todos los posibles valores enteros positivos de $n$ tales que después de un número finito de retiros de dinero del cajero no quede dinero en él. Amir

1 Dada una sucesión de longitud $2017$ que consiste en los primeros $2017$ enteros positivos en orden arbitrario (cada número aparece exactamente una vez). Consideremos el primer término de la sucesión; sea $k$. A partir de la sucesión dada formamos una nueva sucesión de longitud 2017, tal que los primeros $k$ elementos de la nueva sucesión son los mismos que los primeros $k$ elementos de la sucesión original, pero en orden inverso, mientras que los demás elementos permanecen sin cambios. Demuestre que si continuamos transformando la sucesión, eventualmente obtendremos una sucesión con primer elemento $1$.