3 Dados enteros positivos $m,n,r$ con $1<m<n$ , seleccione varias casillas de una cuadrícula de $m \times n$ de modo que el número de casillas seleccionadas en cada fila y columna no supere $r$ . Halle el mínimo valor de $a$ tal que siempre sea posible colorear las casillas seleccionadas usando $a$ colores, garantizando que ninguna fila o columna contenga tres casillas del mismo color. Propuesto por Lu Yiping

1 Sean $v_1,v_2,…,v_n$ $n$ vectores unitarios en $\mathbb{R}^m$ . Demuestre que existen $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n \in \left \{ -1, 1 \right \} $ tales que: $\left | \sum_{i=1}^{n} \varepsilon_i v_i \right | \ge \sqrt{n} $ Nota: Para todo $x=(x_1,x_2, \cdots, x_m) \in \mathbb{R}^m $ , defina $\left | x \right | =\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_m^2} $ Propuesto por Qu Zhenhua

1 Dado un triángulo $ ABC$ con circuncentro $O$ y ortocentro $H$ . La recta $OH$ corta a $AB, AC$ en $E,F$ , respectivamente. Defina $S$ como el circuncentro de $ AEF$ . La circunferencia circunscrita de $ AEF$ corta nuevamente a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $J$ , $J \not= A$ . La recta $OH$ corta nuevamente a la circunferencia circunscrita de $JSO$ en $D$ , $D \not= O$ , y la circunferencia circunscrita de $JSO$ corta nuevamente a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $K$ , $K \not= J$ . Defina $M$ como la intersección de $JK$ y $OH$ , y $DK$ corta a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en los puntos $K,G$ . Demuestre que la circunferencia circunscrita de $GHM$ y la circunferencia circunscrita de $ABC$ son tangentes entre sí. Propuesto por 郝敏言 , China

4 Dada la sucesión $\left \{ a_n \right \} $ que satisface $a_1=4 $ , $a_2=6$ , $ a_{n+1}=a_n+3\left \lceil \frac{a_{n-1}}{2n} \right \rceil $ . Demuestre que existen infinitos $m \in \mathrm {N} $ tales que $a_m$ no es divisible por $a_1,a_2,...,a_{m-1}$ .

4 Dado un primo $p\ge 11$ , sea $S$ un subconjunto de $\mathbb{Z}_p\times\mathbb{Z}_p$ con $3p-3$ elementos. Demuestre: $S$ tiene un subconjunto $T$ con $p-1$ elementos, tal que $\sum_{x\in T}x\equiv (0,0)(mod \ p)$ .

3 $LaTeXed!$ Sea $a_{1}=1$ y $a_{n}=\max[{{a_i}{a_{n-i}+1}}],$ $i=1,2,\cdots,n-1.$ Demuestre que: $a_{2^{n+1}}=a_{2^n}^2 +1.$

4 $f:N_+\rightarrow R_{\ge0}$ , tal que $f(1)=1$ y para todo entero positivo n, $f(n)=\sum_{p\ is\ a\ prime} f(np)$ . Demuestre: para todo entero positivo n, $f(n^2)\ge f(n)^2$ .

3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC$ y sea $O$ el centro de su circunferencia circunscrita $\omega$ . Sea $D$ un punto del segmento $BC$ tal que $\angle BAD = \angle CAO$ . Sea $E$ el segundo punto de intersección de $\omega$ con la recta $AD$ . Si $M$ , $N$ y $P$ son los puntos medios de los segmentos $BE$ , $OD$ y $AC$ , respectivamente, demuestre que los puntos $M$ , $N$ y $P$ son colineales.

4 Sea \( f: \mathbb{N}_+ \to \mathbb{R}_{\geq 0} \) una función que satisface \( f(1) = 1 \) , y para todo entero positivo \( n \) , tenemos \[f(n) = \sum_{p \text{ prime}} f(np)\] . Demuestre que para todo entero positivo \( n \) , \( f(n^2) \geq f(n)^2 \) .

4 Dada una función $f:\mathbb{N}\to \mathbb {N}$ con las siguientes propiedades: 1) $f(0)=f(1)=0$ ; 2) $f(p)=1$ para todo primo $p$ ; 3) $f(mn) = mf(n)+nf(m)$ para cualesquiera $m,n\in\mathbb{N}$ . Halle todos los enteros positivos impares $n$ con $nf(f(f(n))) = f(n)f(f(n))$ . Propuesto por Longhui Yin, estudiante de grado en la Universidad de Tsinghua