4 Demuestra que existen infinitas ternas $(a,b,c)$ de enteros positivos con $a,b,c>1$ tales que $\gcd(a,b)=\gcd(b,c)=\gcd(c,a)=1$ y $a+b+c$ divide a $a^b+b^c+c^a$ .

5 Sea $ABC$ un triángulo con $AB < AC$ y circunferencia circunscrita $\omega$. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $AC$ y $AB$, respectivamente, y sea $G$ el baricentro de $\triangle ABC$. Sea $P$ el pie de la perpendicular desde $A$ a $BC$, y sea $Q$ la intersección de la recta $GP$ con la circunferencia $\omega$ tal que $Q, P, G$ están colineales en ese orden. Sea la recta $QM$ que corta a $\omega$ de nuevo en $M_1$, y la recta $QN$ que corta a $\omega$ de nuevo en $N_1$. Sea $K$ la intersección de $BM_1$ y $CN_1$. Demuestra que $P, G, K$ están colineales.

6 Sea $\alpha > 1$ un número real tal que la sucesión \[ a_n = \alpha \, \lfloor \alpha^n \rfloor - \lfloor \alpha^{n+1} \rfloor, \quad n \ge 1, \] es periódica; es decir, existe un entero positivo $p$ tal que $a_{n+p} = a_n$ para todo $n \ge 1$. Demuestra que $\alpha$ debe ser un entero.

1993 adicional

1993.1 Sean \(C_1\) y \(C_2\) dos circunferencias concéntricas y \(C_3\) una circunferencia exterior a \(C_1\), interior a \(C_2\) y tangente a ambas. Si el radio de \(C_2\) es igual a \(1\), ¿cuánto debe valer el radio de \(C_1\) para que el área de \(C_2\) sea el doble que la de \(C_3\)?

1993.2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero y sea $O$ el punto de intersección de las diagonales $AC$ y $BD$. Sabiendo que el área del triángulo $AOB$ es igual a $1$, el área del triángulo $BOC$ es igual a $2$, y el área del triángulo $COD$ es igual a $4$, calcula el área del triángulo $AOD$ y demuestra que $ABCD$ es un trapecio.

1993.3 Justifica la siguiente construcción de la bisectriz de un ángulo con vértice inaccesible: https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/9/d/be4f7799d58a28cab3b4c515633b0e021c1502.png Se toman $M \in a$ y $N \in b$, se trazan las $4$ bisectrices de los $4$ ángulos internos formados por $MN$ con $a$ y $b$. Dichas bisectrices se intersecan en $P$ y $Q$, entonces $PQ$ es la bisectriz buscada.

1993.4 ¿Es posible colocar en un rectángulo de $5$ cm por $8$ cm, $51$ círculos de diámetro $1$ cm, de modo que no se superpongan? ¿Sería posible para más de $40$ círculos?

1993.5 Una manzana de casas es un cuadrado. Hay allí un patio en el que ha caído una medalla de oro. Quien calcule cuánto mide el lado de dicha manzana, sabiendo que las distancias desde la medalla a tres esquinas consecutivas de la manzana son, respectivamente, $40$ m, $60$ m y $80$ m, ganará la medalla.

1993.6 Considera en el interior de un triángulo equilátero $ABC$ los puntos $D, E$ y $F$ tales que $D$ pertenece al segmento $BE$, $E$ pertenece al segmento $CF$ y $F$ al segmento $AD$. Si $AD=BE = CF$ entonces $DEF$ es equilátero.