2010.1 Un contenedor cerrado con forma de paralelepípedo rectangular contiene $1$ litro de agua. Si el contenedor descansa horizontalmente sobre tres lados distintos, el nivel del agua es de $2$ cm, $4$ cm y $5$ cm. Calcula el volumen del paralelepípedo.

1 ¿Existen enteros $a$ y $b$ tales que $a^5b+3$ y $ab^5+3$ sean ambos cubos perfectos de enteros?

2020.3 Una hormiga despistada hace la siguiente ruta: partiendo del punto \( A \) va \( 1\) cm al norte, luego \( 2\) cm al este, luego \( 3\) cm al sur, luego \( 4\) cm al oeste, inmediatamente \( 5\) cm al norte, continúa \( 6\) cm al este, y así sucesivamente, finalmente \( 41\) cm al norte y termina en el punto \( B \). Calcula la distancia entre \( A \) y \( B \) (en línea recta).

4 Sean $p$ y $q$ números primos. Demuestre que $p^2+q^2+2020$ es compuesto.

2 Un número natural $n$ está escrito en la pizarra. Ben juega un juego de la siguiente manera: en cada paso borra el número escrito en la pizarra y escribe el número que es tres unidades mayor o dos unidades menor que el número que ha borrado. ¿Es posible que para todo valor de $n$ , en algún momento, llegue al número $2020$ ?

2021.1 En un bosque hay $5$ árboles $A, B, C, D, E$ que están en ese orden sobre una línea recta. En el punto medio de $AB$ hay una margarita, en el punto medio de $BC$ hay un rosal, en el punto medio de $CD$ hay un jazmín, y en el punto medio de $DE$ hay un clavel. La distancia entre $A$ y $E$ es de $28$ m; la distancia entre la margarita y el clavel es de $20$ m. Calcula la distancia entre el rosal y el jazmín.

2021.4 Facundo y Luca han recibido una torta con forma de cuadrilátero, como en la figura. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/3/2/630286edc1935e1a8dd9e704ed4c813c900381.png Van a hacer dos cortes rectos en la torta, obteniendo así $4$ porciones con forma de cuadrilátero. Luego Facundo se quedará con dos porciones que no comparten ningún lado, y las otras dos serán para Luca. Muestra cómo pueden hacer los cortes para que ambos chicos reciban la misma cantidad de torta. Justifica por qué cortar de esta manera logra el objetivo.

6 Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ , circunferencia inscrita $\gamma$ y circunferencia circunscrita $\Gamma$ . Sean $M,N,P$ los puntos medios de los lados $\overline{BC}$ , $\overline{CA}$ , $\overline{AB}$ y sean $E,F$ los puntos de tangencia de $\gamma$ con $\overline{CA}$ y $\overline{AB}$ , respectivamente. Sean $U,V$ las intersecciones de la recta $EF$ con las rectas $MN$ y $MP$ , respectivamente, y sea $X$ el punto medio del arco $BAC$ de $\Gamma$ . (a) Demuestre que $I$ se encuentra sobre el rayo $CV$ . (b) Demuestre que la recta $XI$ biseca a $\overline{UV}$ .

2016.4 En un triángulo \(ABC\), sean \(D\) y \(E\) puntos en los lados \(BC\) y \(AC\), respectivamente. Los segmentos \(AD\) y \(BE\) se intersecan en \(O\), y la mediana (paralela a \(AB\)) interseca a \(DE\) en su punto medio. Demuestra que el triángulo \(ABO\) y el cuadrilátero \(ODCE\) tienen la misma área.

2019.4 Tienes que dividir un papel cuadrado en tres partes, mediante dos cortes rectos, de modo que al colocar estas partes adecuadamente, sin huecos ni superposiciones, se forme un triángulo obtuso. Indica cómo cortar el cuadrado y cómo ensamblar el triángulo con las tres partes.