4 Sea $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ una sucesión estrictamente creciente tal que la desigualdad $$a_n(a_n-2a_{n-1})+a_{n-1}(a_{n-1}-2a_{n-2})\geq 0$$ se cumple para todo $n \geq 3$ . Demuestre que para todo $n\geq2$ también se cumple la desigualdad $$a_n \geq a_{n-1}+a_{n-2}+\dots+a_1$$ .

3 Inicialmente, todas las aristas de $K_{2024}$ están pintadas con $13$ colores distintos. Si existen $k$ colores tales que el subgrafo construido por las aristas coloreadas con estos $k$ colores es conexo sin importar cómo haya sido la coloración inicial, halle el valor mínimo de $k$ .

2 Halle todas las funciones $f:\mathbb{Z}^{+} \rightarrow \mathbb{Z}^{+}$ tales que se cumplan las condiciones $\quad a) \quad a-b \mid f(a)-f(b)$ para todo $a\neq b$ con $a,b \in \mathbb{Z}^{+}$ ; $\quad b) \quad f(\varphi(a))=\varphi(f(a))$ para todo $a \in \mathbb{Z}^{+}$ , donde $\varphi$ es la función totiente de Euler.

1 En el trapecio $ABCD$ con bases $AD, BC$ , se tiene $AD = 2BC$ y $M$ es el punto medio de $AB$ . Demuestre que la recta $BD$ pasa por el punto medio del segmento $CM$ .

1 Sea $ABC$ un triángulo y sea $\omega$ su circunferencia circunscrita. Sea $I$ el incentro de $ABC$ . Sea la recta $BI$ que corta a $AC$ en $E$ y a $\omega$ en $M$ por segunda vez. La recta $CI$ corta a $AB$ en $F$ y a $\omega$ en $N$ por segunda vez. Sean las circunferencias circunscritas de $BFI$ y $CEI$ que se cortan de nuevo en el punto $K$ . Demuestre que las rectas $BN$ , $CM$ , $AK$ son concurrentes.

10 Halle el valor máximo de \[abcd(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)\] tal que $a,b,c$ y $d$ son números reales positivos que satisfacen $\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}+\sqrt[3]{d}=4$

9 Demuestre que para todos los enteros positivos $n$ , existe una sucesión de enteros positivos $a_1,a_2,\dots,a_n$ y $d_1,d_2,\dots,d_n$ que satisfacen las tres condiciones siguientes: $\binom{2a_i}{a_i}$ es divisible por $d_i$ para todo $i=1,2,\dots,n$ ; $d_{i+1}=d_i+1$ para todo $i=1,2,\dots, n-1$ ; $d_i\neq m^k$ para todo $i=1,2,\dots, n$ y todos los enteros positivos $m$ y $k$ tales que $k\geq 2$ .

8 Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo y denote por $U$ , $V$ , $W$ , $X$ , $Y$ y $Z$ los puntos medios de $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DE$ , $EF$ y $FA$ respectivamente. Demuestre que las longitudes de $UX$ , $VY$ , $WZ$ pueden ser las longitudes de los lados de algún triángulo.

3 Los números $1, 2,\ldots, 2006$ se escriben alrededor de la circunferencia de un círculo. Un movimiento consiste en intercambiar dos números adyacentes. Después de una sucesión de tales movimientos, cada número termina $13$ posiciones a la derecha de su posición inicial. Si los números $1, 2,\ldots, 2006$ se particionan en $1003$ pares distintos, demuestre que en al menos uno de los movimientos se intercambiaron los dos números de uno de los pares.

7 Sean $m$ y $n$ enteros positivos para los cuales $n\leq m\leq 2n$ . Halle el número de todas las soluciones complejas $(z_1,z_2,...,z_m)$ que satisfacen $$z_1^7+z_2^7+...+z_m^7=n$$ tales que $z_k^3-2z_k^2+2z_k-1=0$ para todo $k=1,2,...,m$ .