11 Los números complejos $z$ y $w$ satisfacen $z+w=2$ . Halle el valor mínimo de $$|z^2-2w|+|w^2-2z|$$

2 En el cuadrilátero convexo $ABCD$ , $AC$ biseca a $\angle BAD$ , y $E$ , $F$ se encuentran sobre los lados $BC$ , $CD$ respectivamente tales que $EF \parallel BD$ . $P$ , $Q$ se encuentran sobre las prolongaciones de $FA$ , $EA$ tales que las circunferencias $ABP$ y $ADQ$ son ambas tangentes a $AC$ . Demuestre que $B$ , $P$ , $Q$ , $D$ son concíclicos.

3 Sea un subconjunto $S$ de casillas de una cuadrícula conexo si y solo si para cualesquiera casillas distintas $A$ , $B$ $\in S$ , existe un entero $l \le 2$ y $l$ casillas $A=C_1, C_2, \cdots, C_l=B$ tales que $C_i$ y $C_{i+1}$ comparten un lado común para cada $1 \le i \le l-1$ . Alice tiene una cuadrícula de $3 \times n$ coloreada arbitrariamente de blanco y negro. Para cada entero positivo $n$ , halle el mayor $K$ tal que, sin importar cómo esté coloreada la cuadrícula, existe un subconjunto conexo de casillas con $B$ casillas negras y $W$ casillas blancas, y $|B-W| \ge K$ .

4 Sean $A$ y $B$ enteros positivos. El conjunto $S$ tiene las propiedades siguientes: para cada entero no negativo $k$ , $A^k \in S$ ; si $n \in S$ , entonces todos los divisores positivos de $n$ pertenecen también a $S$ ; si $m$ , $n \in S$ y $m$ y $n$ son primos entre sí, entonces $mn \in S$ ; si $n \in S$ , entonces $An+b \in S$ . Demuestre que para cualquier $p$ que es coprimo con $B$ , $p \in S$ .

Sean \( m \) y \( n \) números naturales, y sea \( p \) un primo tal que \( m < n < p \) , y: \[ p \mid m^2 + 1 \quad \text{and} \quad p \mid n^2 + 1. \] Demuestre que: \[ p \mid mn - 1. \]

En el triángulo \( \triangle ABC \) , tenemos \( AB < AC \) . La bisectriz del \( \angle BAC \) interseca al lado \( BC \) en el punto \( D \) y a la circunferencia circunscrita del triángulo \( \triangle ABC \) en el punto \( S \) . Sea \( M \) el punto medio de \( BC \) , y \( N \) el punto medio de \( AB \) . Las rectas \( MN \) y \( AD \) se intersecan en el punto \( T \) , y las rectas \( BT \) y \( AC \) se intersecan en el punto \( P \) . a) Demuestre que existe una circunferencia \( k \) que pasa por los puntos \( S, C, P, D \) . b) Sea \( k_1 \) la circunferencia circunscrita del triángulo \( \triangle DMT \) , que interseca a la circunferencia \( k \) en los puntos \( D \) y \( X \) . Demuestre que: \[ BX = CX. \]

Sean a, b, c números reales tales que $a + b + c = 0$ y $abc = -16$ . Halle el valor mínimo de la expresión \[ W = \frac{a^2 + b^2}{c} + \frac{b^2 + c^2}{a} + \frac{c^2 + a^2}{b}. \]

2 Por un punto interior $O$ de $\Delta ABC$ se trazan 3 rectas, paralelas a cada uno de los lados, que se intersecan en los puntos mostrados en la figura. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/e/3/03d4d1bb61eda8b4a72ff84466d700de47c147.png Encuentra el valor de $\frac{|AF|}{|AB|}+\frac{|BE|}{|BC|}+\frac{|CN|}{|CA|}$ .

Sea \( n \geq 2 \) un número natural. Un tablero cuadrado de dimensiones \( n^2 \times n^2 \) está dividido en \( n^4 \) casillas unitarias. Hay \( n^2 \) fichas colocadas sobre el tablero. A una señal, cada ficha se mueve a una casilla nueva tal que la distancia entre el centro de la casilla antigua y el centro de la casilla nueva es exactamente \( n \) . Determine todos los valores de \( n \) para los cuales es posible que, antes y después de la señal, no haya dos fichas en la misma fila ni en la misma columna.

1. Sean $a$ , $b$ , $c$ números reales distintos de 0 para los cuales se cumple $ab$ + $bc$ + $ca$ = 0 . a) Demuestre que ( $a$ + $b$ ) ( $b$ + $c$ ) ( $c$ + $a$ ) ≠ 0 . b) Sean $X$ = $a$ + $b$ + $c$ e $Y$ = $\frac{1}{a+b}$ + $\frac{1}{b+c}$ + $\frac{1}{c+a}$ . Demuestre que los números $X$ e $Y$ son ambos positivos o ambos negativos.