Sean $x$ e $y$ números reales positivos tales que $x^2+y^2+1=3xy$ . Demuestre que $$x+y\ge2$$

4 $\boxed{\text{N4}}$ Halle todos los primos $p,q$ tales que $2p^3-q^2=2(p+q)^2$ .

Inicialmente, los números $i^3-i$ para $i=2,3 \ldots 2n+1$ están escritos en un pizarrón, donde $n\geq 2$ es un entero positivo. En un movimiento podemos borrar tres números $a, b, c$ y escribir el número $\frac{abc} {ab+bc+ca}$ . Demuestre que cuando quedan dos números en el pizarrón, su suma será mayor que $16$ .

Sean $m$ y $n$ enteros positivos mayores que $1$ . En cada cuadrado unitario de una cuadrícula de $m\times n$ hay una moneda con su lado cruz hacia arriba. Un movimiento consiste en los siguientes pasos: seleccione un cuadrado de $2\times 2$ en la cuadrícula; voltee las monedas en los cuadrados unitarios superior izquierdo e inferior derecho; voltee la moneda en el cuadrado superior derecho o en el inferior izquierdo. Determine todos los pares $(m,n)$ para los cuales es posible que toda moneda muestre el lado cara hacia arriba después de un número finito de movimientos. Thanasin Nampaisarn, Tailandia

Sea un triángulo $ABC$ . Sean los puntos $P$ y $Q$ sobre los lados $AB, AC$ , respectivamente, de modo que $AP=AQ$ , y $PQ$ pasa por el incentro $I$ . Sea $(BPI)$ que corta a $(CQI)$ en $M$ , $PM$ corta a $BI$ en $D$ y $QM$ corta a $CI$ en $E$ . Demuestre que la recta $MI$ pasa por el punto medio de $DE$ .

Una tabla de dimensiones $6 \times 6$ , formada por casillas unitarias, debe cubrirse usando baldosas rectangulares, con los bordes de las baldosas alineados con las líneas de la cuadrícula de la tabla. Baldosas distintas no pueden superponerse y deben tener áreas distintas. ¿Cuál es el máximo número de baldosas que se puede usar? \[ \begin{array}{|c@{\hspace{12pt}}|c@{\hspace{12pt}}|c@{\hspace{12pt}}|c@{\hspace{12pt}}|c@{\hspace{12pt}}|c@{\hspace{12pt}}|} \hline & & & & & \\ \hline & & & & & \\ \hline & & & & & \\ \hline & & & & & \\ \hline & & & & & \\ \hline & & & & & \\ \hline \end{array} \]

Sea $\triangle ABC$ un triángulo y sea $M$ el punto medio de $BC$ . Las mediatrices de $AB$ y $AC$ cortan a $BC$ en los puntos $D$ y $E$ , respectivamente. Si $MD = ME$ , demuestre que $\triangle ABC$ es isósceles.

2 Halle todos los enteros positivos $n$ tales que todos los factores primos de $2^n-1$ sean menores o iguales que $7$.

5 Sea $n$ un entero positivo. Beto escribe en el pizarrón una lista de $n$ enteros no negativos. Luego realiza una sucesión de movimientos (dos pasos) del siguiente tipo: Primero, para cada $i=1,2,...,n$, cuenta cuántos números del pizarrón son menores o iguales que $i$. Sea $a_i$ el número obtenido para cada $i=1,2,...,n$. A continuación, borra todos los números del pizarrón y escribe los números $a_1,a_2,...,a_n$. Por ejemplo, si $n=5$ y los números iniciales en el pizarrón son $0,7,2,6,2$, después del primer movimiento los números en el pizarrón serán c $1,3,3,3,3$; después del segundo movimiento serán $1,1,5,5,5$, y así sucesivamente. $a)$ Demuestre que, para todo $n$ y toda configuración inicial, llegará un momento a partir del cual los números ya no se modificarán al usar este movimiento. $b)$ Halle (como función de $n$) el valor mínimo de $k$ tal que, para cualquier configuración inicial, los movimientos realizados a partir del movimiento número $k$ no cambiarán los números del pizarrón.

1 Para todo entero positivo $n$, $P(n)$ se define de la siguiente manera: para cada divisor primo $p$ de $n$ se considera el mayor entero $k$ tal que $p^k\le n$ y se suman todos los $p^k$. Por ejemplo, para $n=100=2^2 \cdot 5^2$, como $2^6<100<2^7$ y $5^2<100<5^3$, resulta que $P(100)=2^6+5^2=89$. Demuestre que hay infinitos enteros positivos $n$ tales que $P(n)>n$.