Considera el grafo con vértices $A_1,A_2,\dots A_{2015}$ , $B_1,B_2,\dots B_{2015}$ y aristas $A_iA _{i+1}, A_iB_i, B_iB_{i+17} $ , tomadas cíclicamente. ¿Es verdad que 4 policías pueden atrapar a un ladrón en este grafo para toda posición inicial? (Primero los 4 policías hacen un movimiento, luego el ladrón hace un movimiento, luego los policías hacen un movimiento, etc. Un movimiento consiste en saltar desde el vértice en el que estás a un vértice adyacente o en quedarte en tu vértice actual. Todos saben la posición de todos en todo momento. Los policías pueden coordinar sus movimientos. El ladrón es atrapado cuando comparte el mismo vértice con un policía.) Tuymaada 2017 Q8 Juniors

8 Halle el número de enteros $k$ en el conjunto $\{0, 1, 2, \dots, 2012\}$ tales que $\binom{2012}{k}$ es un múltiplo de $2012$.

5 Se da un número real $\alpha \geq 0$. Halle el menor $\lambda = \lambda (\alpha ) > 0$, tal que para cualesquiera números complejos ${z_1},{z_2}$ y $0 \leq x \leq 1$, si $\left| {{z_1}} \right| \leq \alpha \left| {{z_1} - {z_2}} \right|$, entonces $\left| {{z_1} - x{z_2}} \right| \leq \lambda \left| {{z_1} - {z_2}} \right|$.

4 Hay una piedra en cada vértice de un $13$ -ágono regular dado, y el color de cada piedra es negro o blanco. Demuestre que podemos intercambiar la posición de dos piedras de modo que la coloración de estas piedras sea simétrica con respecto a algún eje de simetría del $13$ -ágono.

4 Un torneo de tenis tiene $n>2$ jugadores y cualesquiera dos jugadores juegan un partido entre sí (no se permiten empates). Después de los partidos estos jugadores pueden ser dispuestos en un círculo, de modo que para cualesquiera tres jugadores $A,B,C$, si $A,B$ son adyacentes en el círculo, entonces al menos uno de $A,B$ le ganó a $C$. Halle todos los valores posibles de $n$.

5 Sean $x, y, z$ números reales positivos tales que $x^2 + xy + y^2 = \frac{25}{4}$ , $y^2 + yz + z^2 = 36$ y $z^2 + zx + x^2 = \frac{169}{4}$ . Halle el valor de $xy + yz + zx$ .

3 Sea $p$ un primo tal que $3|p+1$ . Muestre que $p|a-b$ si y solo si $p|a^3-b^3$

3 Encuentra todas las soluciones de la ecuación $$\sin\pi \sqrt x+\cos\pi \sqrt x=(-1)^{\lfloor \sqrt x \rfloor }$$

6 Halle todos los pares de enteros positivos $ (x,y)$ tales que \[ x^y = y^{x - y}. \] Albania Valentin

7 Un triángulo acutángulo $ ABC$ tiene tres alturas $ AD, BE$ y $ CF$ respectivamente. Demuestre que el perímetro del triángulo $ DEF$ no supera la mitad del perímetro del triángulo $ ABC.$