1 En el panel de control de una central nuclear hay $n$ interruptores eléctricos ( $n > 0$ ) , todos en una fila. Cada interruptor tiene dos posiciones posibles: arriba y abajo. Los interruptores están conectados entre sí de tal manera que, siempre que un interruptor baja desde su posición superior, su vecino derecho (si existe) cambia automáticamente de posición. Al principio, todos los interruptores están abajo. El operador del panel primero cambia la posición del interruptor más a la izquierda una vez, luego la posición del segundo interruptor más a la izquierda dos veces, etc., hasta que finalmente cambia la posición del interruptor más a la derecha n veces. ¿Cuántos interruptores quedan arriba después de todas estas operaciones?

5 Dado un cuadrilátero $ABCD$ . Los puntos $X, Y, Z$ son los puntos medios de los segmentos $DA, AB, BC$ respectivamente. Resultó que $XY \perp AB$ , $XZ \perp BC$ , y $\angle BCD=109^\circ$ . Halle el ángulo $\angle ACB$ .

. En una ciudad, el $20\%$ de la población tiene bicicletas, y el $30\%$ tiene scooters. Se sabe que $\frac{1}{4}$ de todas las personas que tienen bicicleta también tienen scooter. ¿Qué porcentaje de la población de la ciudad no tiene ni scooter ni bicicleta? P2. Halle todas las soluciones reales del sistema de ecuaciones \[\left\{\begin{aligned} ab^{2}+ab+1 &=0, \\ a^{2}b^{2}+a^{2}b+ab^{2}+ab+a+b+3 &=0. \end{aligned}\right.\] P3. Sasha tiene $n$ reyes de ajedrez. Resulta que no importa cómo Sasha intente colocar estos reyes en un tablero de $8\times8$ , siempre habrá dos reyes que ataquen la misma casilla. Determine el menor valor posible de $n$ . P4. Una pila consta de $2024$ cartas etiquetadas con los números $1^{2}, 2^{2}, \ldots, 2024^{2}$ (un número por carta). Alibek y Nursultan toman cartas de la pila alternadamente, comenzando Alibek. Después de que se toman todas las cartas, Alibek calcula la suma de los números de sus cartas. El objetivo de Alibek es que esta suma sea divisible por $4$ , mientras que el objetivo de Nursultan es impedirlo. ¿Puede Nursultan lograrlo? P5. En el triángulo $ABC$ , $\angle A=15^{\circ}$ y $\angle C=45^{\circ}$ . Sobre el rayo $CB$ , más allá del punto $B$ , se marca un punto $D$ tal que $DB=2BC$ . Determine la medida del ángulo $\angle ADC$ .

En un cierto círculo, la cuerda de un arco de $d$ grados mide 22 centímetros de largo, y la cuerda de un arco de $2d$ grados es 20 centímetros más larga que la cuerda de un arco de $3d$ grados, donde $d<120.$ La longitud de la cuerda de un arco de $3d$ grados es $-m+\sqrt{n}$ centímetros, donde $m$ y $n$ son enteros positivos. Encuentra $m+n.$

1 Sea $N=\overline{abcd}$ un entero positivo de cuatro cifras. Llamamos potencia plátano al menor entero positivo $p(N)=\overline{\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_k}$ que puede insertarse entre los números $\overline{ab}$ y $\overline{cd}$ de tal manera que el nuevo número $\overline{ab\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_kcd}$ sea divisible por $N$ . Determine el valor de $p(2025)$ .

$(\mathbb R^2,+)$$\{0\}$$\{mv|m\in \mathbb Z\}$$v$$\mathbb R^2$$\{mv+nw|m,n\in \mathbb Z\}$$v$$w$$\mathbb R^2$$L$$L$$\mathcal C_i$$\mathcal D_i$$i=1,2,3,4,6$$\mathcal C_i$$i$$\mathcal D_i$$i$

$p$$n$$G$$|G|=p^n$

1 Halle todos los pares $(a, b)$ de enteros positivos que satisfacen la ecuación $a^2 -3 \cdot 2^b = 1$ .

4 El rectángulo $ABCD$ tiene lados $AB = 3$ , $BC = 2$ . El punto $ P$ sobre el lado $AB$ es tal que la bisectriz del ángulo $CDP$ pasa por el punto medio $M$ de $BC$ . Halle $BP$ .

6 Partiendo de una pirámide $T_0$ cuyas aristas son todas de longitud $2019$ , construimos la figura $T_1$ considerando los triángulos formados por los puntos medios de las aristas de cada cara de $T_0$ , construyendo en cada uno de estos nuevos triángulos pirámides con caras idénticas a la base. Luego se eliminan las bases de estas nuevas pirámides. La figura $T_2$ se construye aplicando el mismo proceso desde $T_1$ en cada cara triangular resultante de $T_1$ , y así sucesivamente para $T_3, T_4, ...$ Sea $D_0= \max \{d(x,y)\}$ , donde $x$ y $y$ son vértices de $T_0$ y $d(x,y)$ es la distancia entre $x$ y $y$ . Luego definimos $D_{n + 1} = \max \{d (x, y) |d (x, y) \notin \{D_0, D_1,...,D_n\}$ , donde $x, y$ son vértices de $T_{n+1}$ . Halle el valor de $D_n$ para todo $n$ .