C1 Empezamos con cualquier lista finita de enteros positivos distintos. Podemos reemplazar cualquier par $n, n + 1$ (no necesariamente adyacentes en la lista) por el único entero $n-2$, permitiendo ahora negativos y repeticiones en la lista. También podemos reemplazar cualquier par $n, n + 4$ por $n - 1$. Podemos repetir estas operaciones tantas veces como queramos. O determina el entero más negativo que puede aparecer en una lista, o demuestra que no existe tal mínimo.

C2 Un entrenador de ranas coloca una rana en cada vértice de un triángulo equilátero $ABC$ de lado unitario. El entrenador puede hacer que una rana salte sobre otra a lo largo de la recta que las une, de modo que la longitud total del salto sea un múltiplo par de la distancia entre las dos ranas justo antes del salto. Sean $M$ y $N$ dos puntos en los rayos $AB$ y $AC$, respectivamente, que parten de $A$, tales que $AM = AN = \ell$, donde $\ell$ es un entero positivo. Después de un número finito de saltos, las tres ranas quedan todas dentro del triángulo $AMN$ (dentro o en la frontera), y ya no se realizan más saltos. Determina el número de posiciones finales que las tres ranas pueden alcanzar en el triángulo $AMN$. (Durante el proceso, las ranas pueden salir del triángulo $AMN$; solo sus posiciones finales deben estar en ese triángulo.)

C3 Un conjunto $S=\{ s_1,s_2,...,s_k\}$ de números reales positivos es "poligonal" si $k\geq 3$ y existe un $k-$gono plano no degenerado cuyas longitudes de lado son exactamente $s_1,s_2,...,s_k$; el conjunto $S$ es multipoligonal si en toda partición de $S$ en dos subconjuntos, cada uno con al menos tres elementos, exactamente uno de estos dos subconjuntos es poligonal. Fija un entero $n\geq 7$. (a) ¿Existe un conjunto multipoligonal de $n$ elementos cuya eliminación de su elemento maximal deja un conjunto multipoligonal? (b) ¿Es posible que todo subconjunto de $(n-1)$ elementos de un conjunto de $n$ elementos de números reales positivos sea multipoligonal? ThE-dArK-lOrD

C4 Demuestra que un conjunto de $46$ elementos de enteros contiene dos dobletes distintos $\{u, v\}$ y $\{x,y\}$ tales que $u + v \equiv x + y$ (mod $2016$).

G1 Dos circunferencias, $\omega_1$ y $\omega_2$, con centros en $O_1$ y $O_2$, respectivamente, se cortan en los puntos $A$ y $B$. Una recta que pasa por $B$ corta de nuevo a $\omega_1$ en $C$, y a $\omega_2$ en $D$. Las tangentes a $\omega_1$ y $\omega_2$ en $C$ y $D$, respectivamente, se cortan en $E$, y la recta $AE$ corta de nuevo a la circunferencia $\omega$ que pasa por $A, O_1, O_2$ en $F$. Demuestra que la longitud del segmento $EF$ es igual al diámetro de $\omega$.

5 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con baricentro $G$. Sea la bisectriz del ángulo $\angle ABC$ que interseca a $AC$ en $D$. Los puntos $P$ y $Q$ están sobre la recta $BD$ tales que $\angle PBA = \angle PAB$ y $\angle QBC = \angle QCB$. Sea $M$ el punto medio de $QP$, y sea $N$ un punto sobre la recta $GM$ tal que $GN = 2 \cdot GM$. Demuestra que $\angle ANC + \angle ABC = 180^\circ$.

3 Para todo entero $n > 1$, la sucesión $\left( {{S}_{n}} \right)$ se define por ${{S}_{n}}=\left\lfloor {{2}^{n}}\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}_{n\ radicales} \right\rfloor $ donde $\left\lfloor x \right\rfloor$ denota la función piso de $x$. Demuestra que ${{S}_{2001}}=2\,{{S}_{2000}}+1$.

4 Encuentra todas las funciones \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) tales que, para cualesquiera \( x, y \in \mathbb{R} \): \[ f\left( f\left( x \right)-y \right)\cdot f\left( x+f\left( y \right) \right)={{x}^{2}}-{{y}^{2}} \]

N1 Determina todos los enteros \(n \ge 3\) cuya expansión decimal tiene menos de \(20\) dígitos, tales que todo no-residuo cuadrático módulo \(n\) sea una raíz primitiva módulo \(n\). Un entero \(a\) es un no-residuo cuadrático módulo \(n\) si no existe un entero \(b\) tal que \(a - b^2\) sea divisible por \(n\). Un entero \(a\) es una raíz primitiva módulo \(n\) si para todo entero \(b\) primo relativo con \(n\) existe un entero positivo \(k\) tal que \(a^k - b\) sea divisible por \(n\).

2 Sea $n$ un entero, $n>1$. Un elemento del conjunto $M=\{ 1,2,3,\ldots,n^2-1\}$ se llama bueno si existe algún elemento $b$ de $M$ tal que $ab-b$ es divisible por $n^2$. Además, un elemento $a$ se llama muy bueno si $a^2-a$ es divisible por $n^2$. Sea $g$ el número de elementos buenos en $M$ y $v$ el número de elementos muy buenos en $M$. Demuestra que \[v^2+v \leq g \leq n^2-n.\]