4 $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico inscrito en la circunferencia $O$ . Sean $O_1$ el $A$ -excentro de $ABC$ y $O_2$ el $A$ -excentro de $ABD$ . Muestre que $A, B, O_1, O_2$ son concíclicos, y que $O$ pasa por el centro de $(ABO_1O_2)$ . Recuerde que para puntos concíclicos $X, Y, Z, W$ , la notación $(XYZW)$ denota la circunferencia circunscrita de $XYZW$ .

1 Muestre que para cualquier entero no negativo $n$ , el número $2^{2n+1}$ no puede expresarse como suma de cuatro números cuadrados no nulos.

2 $a, b$ son números impares que satisfacen $(a-b)^2 \le 8\sqrt {ab}$ . Para $n=ab$ , muestre que la ecuación $$x^2-2([\sqrt n]+1)x+n=0$$ tiene dos soluciones enteras. $[r]$ denota el mayor entero no estrictamente mayor que $r$ .

3 Considere un triángulo $ABC$ , inscrito en $O$ y con $\angle A < \angle B$ . Un punto $P$ exterior a la circunferencia satisface $$\angle A=\angle PBA =180^{\circ}- \angle PCB$$ Sea $D$ la intersección de la recta $PB$ con $O$ (diferente de $B$ ) , y $Q$ la intersección de la recta tangente a $O$ que pasa por $A$ con la recta $CD$ . Muestre que $CQ : AB=AQ^2:AD^2$ .

4 Cuando se dan cualesquiera $11$ enteros, demuestre que siempre se pueden elegir $6$ enteros entre ellos de modo que la suma de los números elegidos sea un múltiplo de $6$ . Los $11$ enteros no son necesariamente distintos.

5 Se dan cuatro enteros positivos impares $a, b, c, d (a\leq b \leq c\leq d)$ . Elija cualesquiera tres números entre ellos y divida su suma por el número no elegido, y siempre obtendrá el resto $1$ . Halle todos los $(a, b, c, d)$ que satisfacen esto.

1 Existe un punto $O$ dentro de un cuadrilátero convexo $ABCD$ que satisface $OA=OB$ y $OC=OD$ , y $\angle AOB = \angle COD=90^{\circ}$ . Considere dos cuadrados: (1) el cuadrado que tiene a $AC$ como un lado y está ubicado en el lado opuesto a $B$ y (2) el cuadrado que tiene a $BD$ como un lado y está ubicado en el lado opuesto a $E$ . Si la parte común de estos dos cuadrados es también un cuadrado, demuestre que $ABCD$ es un cuadrilátero inscrito.

2 Se dan tres enteros. $A$ denota la suma de los enteros, $B$ denota la suma de los cuadrados de los enteros y $C$ denota la suma de los cubos de los enteros (es decir, si los tres enteros son $x, y, z$ , entonces $A=x+y+z$ , $B=x^2+y^2+z^2$ , $C=x^3+y^3+z^3$ ) . Si $9A \geq B+60$ y $C \geq 360$ , halle $A, B, C$ .

2 Considera números de la forma $1a1$, donde $a$ es un dígito. ¿Cuántos pares de tales números existen tales que su suma también sea un palíndromo? Nota: Un palíndromo es un número que se lee igual de izquierda a derecha y de derecha a izquierda. Ejemplos: $353$, $91719$.

1 El rectángulo en la figura tiene dimensiones $16$ x $20$ y está dividido en $10$ rectángulos más pequeños iguales. ¿Cuál es el perímetro de cada uno de los $10$ rectángulos más pequeños?