6 Las diagonales del trapecio $ ABCD $ son mutuamente perpendiculares ( $ AB $ es la base mayor). Sea $ O $ el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo $ ABC $ , y sea $ E $ el punto de intersección de $ OB $ y $ CD $ . Demuestre que $ BC ^ 2 = CD \cdot CE $ .

7 Para todo $a$ y $b$ positivos, demuestre la desigualdad $\frac{a+\sqrt[3]{a^{2}b}+\sqrt[3]{ab^{2}}+b}{4}\leqslant\frac{a+\sqrt{ab}+b}{3}$ .

8 (a) Demuestre que entre cualesquiera $79$ números naturales consecutivos hay al menos uno cuya suma de dígitos es divisible por $13$ . (b) Halle $78$ números naturales consecutivos tales que la suma de los dígitos de cada uno de ellos no es divisible por $13$ .

1 Demuestre que para cualesquiera números reales $ a_1, a_2, \dots, a_ {100} $ existe un número real $ b $ tal que todos los números $ a_i + b $ ( $ 1 \leq i \leq 100 $ ) son irracionales.

2 Un cuadrado se obtiene rotando el segundo cuadrado respecto a su centro por el ángulo $ \alpha $ $(\alpha \leq \pi / 4) $ . ¿Para qué valor de $ \alpha $ el perímetro del octágono, parte común de los dos cuadrados, alcanza su valor mínimo?

3 La sucesión $\{a_{n}\}$ se define de la siguiente manera: $a_{1}=1$ , y para todo $n\geqslant2$ , \[a_{n}=\left\{\begin{aligned} a_{n-1}-n, \text{ if } a_{n-1}>n, \\ a_{n-1} + n, \text{ if } a_{n-1} \leqslant n. \end{aligned}\right.\] Halle el menor $n$ tal que $a_{n}=1999$ .

4 En un país hay $2000$ ciudades, y la distancia entre cualesquiera dos de ellas es distinta. Se sabe que entre cualesquiera tres ciudades, las dos con la menor distancia entre ellas no están conectadas por una carretera. Halle el número máximo posible de carreteras en este país.

5 Para números reales $ x_1, x_2, \dots, x_n $ y $ y_1, y_2, \dots, y_n $ , se cumplen las desigualdades $ x_1 \geq x_2 \geq \ldots \geq x_n> 0 $ y $$ y_1 \geq x_1, ~ y_1y_2 \geq x_1x_2, ~ \dots, ~ y_1y_2 \dots y_n \geq x_1x_2 \dots x_n. $$ Demuestre que $ ny_1 + (n-1) y_2 + \dots + y_n \geq x_1 + 2x_2 + \dots + nx_n $ .

7 Sean $a=(n+1)^{m}-n$ y $b=(n+1)^{m+3}-n$ , donde $m$ y $n$ son números naturales. (a) Demuestre que $a$ y $b$ son coprimos si $m$ no es divisible por $3$ . (b) Halle todos los pares $(m,n)$ para los cuales $a$ y $b$ no son coprimos.

8 En el triángulo isósceles acutángulo $ ABC $ , con base $ AC $ , se trazan las alturas $ AA_1 $ y $ BB_1 $ . La recta que pasa por $ B $ y por el punto medio de $ AA_1 $ corta a la circunferencia $ \omega $ circunscrita al triángulo $ ABC $ en el punto $ E $ . La tangente a $ \omega $ en el punto $ A $ corta a la recta $ BB_1 $ en el punto $ D $ . Demuestre que los puntos $ D $ , $ E $ , $ B_1 $ y $ C $ están sobre una misma circunferencia.