3 Dos triángulos $ ABC$ y $ A'B'C'$ están situados en el espacio de modo que la longitud de cada lado de $ \triangle ABC$ no es menor que $ a$ , y la longitud de cada lado de $ \triangle A'B'C'$ no es menor que $ a'$ . Demuestre que se puede elegir un vértice de $ \triangle ABC$ y un vértice de $ \triangle A'B'C'$ de manera que la distancia entre los dos vértices elegidos no sea menor que $ \sqrt {\frac {a^2 + a'^2}{3}}$ . Amir.S

1 Dos círculos se intersecan en dos puntos $A$ y $B$ . Una recta $\ell$ que pasa por el punto $A$ corta a los dos círculos nuevamente en los puntos $C$ y $D$ , respectivamente. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los arcos $BC$ y $BD$ (que no contienen al punto $A$ ) en los respectivos círculos. Sea $K$ el punto medio del segmento $CD$ . Demuestre que $\measuredangle MKN = 90^{\circ}$ .

2 Sean $A$ y $B$ conjuntos finitos arbitrarios y sean $f: A\longrightarrow B$ y $g: B\longrightarrow A$ funciones tales que $g$ no es sobreyectiva. Demuestre que existe un subconjunto $S$ de $A$ tal que $\frac{A}{S}=g(\frac{B}{f(S)})$ . Amir.S

3 Suponga que $f : \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}$ es una función que satisface $f(1) = 1$ y $f(n + 1) =\{\begin{array}{cc} f(n)+2&\mbox{if}\ n=f(f(n)-n+1),\\f(n)+1& \mbox{Otherwise}\end {array}$. $(a)$ Demuestre que $f(f(n)-n+1)$ es o bien $n$ o bien $n+1$ . $(b)$ Determine $f$ . Amir.S

1 Denotemos $\prod = \{(x, y) | y > 0\}$ . Llamamos semi-recta a un semicírculo en $\prod$ con centro en el $x-\text{axis}$ . Dos semi-rectas que se intersecan determinan cuatro semi-ángulos . Una bisectriz de un semi-ángulo es una semi-recta que biseca al semi-ángulo . Demuestre que en todo semi-triángulo (determinado por tres semi-rectas ) las bisectrices son concurrentes. Amir.S

2 Halle todas las funciones f:N $\longrightarrow$ N tales que: a) $f(m)=1 \Longleftrightarrow m=1 $ b) $d=gcd(m,n) f(m\cdot n)= \frac{f(m)\cdot f(n)}{f(d)} $ c) $ f^{2000}(m)=f(m) $ Omid

3 Sean $n$ puntos dados sobre un círculo, y sean $nk + 1$ cuerdas trazadas entre estos puntos, donde $2k+1 < n$ . Demuestre que es posible seleccionar $k+1$ de las cuerdas de modo que no haya dos de ellas que se intersequen. Amir.S

1 En un torneo de tenis en el que participan $ n$ jugadores $ A_1,A_2,\dots,A_n$ , dos jugadores cualesquiera juegan a lo sumo un partido, y se juegan $ k \leq \frac {n(n - 1)}{2}$ $ 2$ partidos. El ganador de un partido obtiene $ 1$ punto mientras que el perdedor obtiene $ 0$ . Demuestre que una sucesión $ d_1,d_2,\dots,d_n$ de enteros no negativos puede ser la sucesión de puntuaciones de los jugadores (siendo $ d_i$ la puntuación de $ A_i$ ) si y solo si $ (i)\ \ d_1 + d_2 + \dots + d_n = k$ , y $ (ii)\ \text{for any} X\subset\{A_1,\dots,A_n\}$ , el número de partidos entre los jugadores de $ X$ es a lo sumo $ \sum_{A_j\in X}d_j$ Amir.S

2 Diremos que dos circunferencias en el espacio tridimensional son tangentes entre sí en un punto $ P$ si ambas pasan por $ P$ y las rectas tangentes a cada circunferencia en $ P$ coinciden. Tres circunferencias, no todas contenidas en un plano, son tangentes entre sí por pares en tres puntos distintos. Demuestre que existe una esfera que pasa por las tres circunferencias. sam-n

2 Sobre los lados del triángulo $A_1A_2A_3$ se construyen, exteriormente al triángulo, los triángulos isósceles $A_3A_1O_2$ y $A_1A_2O_3$ con base en dichos lados. Sea $O_1$ un punto exterior a $\Delta A_1A_2A_3$ tal que $\angle O_1A_3A_2 =\frac 12\angle A_1O_3A_2$ y $\angle O_1A_2A_3 =\frac 12\angle A_1O_2A_3$ . Demuestre que $A_1O_1\perp O_2O_3$ y que, si $T$ es la proyección de $O_1$ sobre $A_2A_3$ , entonces $\frac{A_1O_1}{O_2O_3} = 2\frac{O_1T}{A_2A_3}$ . Amir.S