1 Los números $1, 2, 3, \ldots$ se colocan en espiral en los vértices de una cuadrícula cuadrada infinita (ver figura). Luego, en el centro de cada cuadrado se coloca la suma de los números en sus vértices. Demuestra que para cada entero positivo $n$, los centros de los cuadrados contienen infinitos múltiplos de $n$.

2 En un grafo con $n$ vértices, cada dos vértices están conectados por un único camino. Para cada dos vértices $u$ y $v$, sea $d(u, v)$ la distancia entre $u$ y $v$, es decir, el número de aristas en el camino que conecta estos dos vértices, y $\deg(u)$ el grado de un vértice $u$. Sea $W$ la suma de las distancias por pares entre los vértices, y $D$ la suma de las distancias por pares ponderadas: $\sum_{\{u, v\}}(\deg(u)+\deg(v))d(u, v)$. Demuestra que $D=4W-n(n-1)$.

3 Demuestra que para todo entero positivo $n \geq 2$ , $$\frac{\sum_{1\leq i \leq n} \sqrt[3]{\frac{i}{n+1}}}{n} \leq \frac{\sum_{1\leq i \leq n-1} \sqrt[3]{\frac{i}{n}}}{n-1}.$$

4 Dos puntos $A$ y $B$ y una recta $\ell$ están fijos en el plano, de modo que $\ell$ no es perpendicular a $AB$ y no interseca el segmento $AB$. Consideramos todos los círculos con centro $O$ que no está sobre $\ell$, que pasan por $A$ y $B$ y que cortan a $\ell$ en algunos puntos $C$ y $D$. Demuestra que todas las circunferencias circunscritas de los triángulos $OCD$ son tangentes a un círculo fijo.

5 Un pequeño barco navega en un mar infinito de coordenadas. En el momento $t$, el barco está en el punto con coordenadas $(f(t), g(t))$, donde $f$ y $g$ son dos polinomios de tercer grado. Ayer a las $14:00$, el barco estaba en el mismo punto que a las $13:00$, y a las $20:00$, estaba en el mismo punto que a las $19:00$. Demuestra que el barco navega en línea recta.

En el plano se dibujan $n$ segmentos con longitudes $a_1, a_2, \dots , a_n$. Todo rayo que comienza en el punto $O$ interseca al menos uno de los segmentos. Sea $h_i$ la distancia desde $O$ al $i$-ésimo segmento (¡no a la recta!). Demuestra la desigualdad \[\frac{a_1}{h_1}+\frac{a_2}{h_2} + \cdots + \frac{a_n}{h_n} \geqslant 2 \pi.\]

7 Piezas hexagonales numeradas con enteros positivos se colocan en las celdas de un tablero hexagonal de lado $n$. Dos celdas adyacentes quedan vacías, y gracias a ello algunas piezas pueden moverse. Dos piezas con lados comunes intercambiaron sus lugares (ver un ejemplo en el anexo 2). Demuestra que si $n \ge 3$ la segunda disposición no puede obtenerse de la primera moviendo piezas. Nota. Mover una pieza a requiere dos celdas vacías adyacentes. Por ejemplo, si están a la derecha de a (anexo 1, figura izquierda), a puede moverse a la derecha hasta tocar un ángulo (anexo 1, figura del medio), y luego puede moverse hacia arriba a la derecha o hacia abajo a la derecha (anexo 1, figura derecha).

Dado un entero positivo \( n \). Sea \( A \) el conjunto de puntos \( x \in (0;1) \) tales que \( |x-\frac{p}{q}|>\frac{1}{n^3} \) para cada fracción racional \( \frac{p}{q} \) con denominador \( q \leq n^2 \). Demuestra que \( A \) es una unión de intervalos con longitud total que no excede \( \frac{100}{n} \). Propuesto por Fedor Petrov.

1 Tenemos cuatro triángulos de madera con lados $3, 4, 5$ centímetros. ¿Cuántos polígonos convexos podemos formar con todos estos triángulos? (Solo dibuja los polígonos sin ninguna prueba) Un polígono convexo es un polígono donde todos sus ángulos son menores que $180^o$ y no tiene ningún hueco. Por ejemplo: //cdn.artofproblemsolving.com/images/7/5/4/7545261bf092f2c843dcb006847dda80e25acedc.png

4 En el rectángulo $ABCD$, los puntos $M,N,P,Q$ están sobre $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ respectivamente, de modo que las áreas de los triángulos $AQM$, $BMN$, $CNP$, $DPQ$ son iguales. Demuestra que el cuadrilátero $MNPQ$ es un paralelogramo. por Mahdi Etesami Fard