4 Resuelva en números reales la ecuación $\log_{2}(4^x+4)=x+\log_{2}(2^{x+1}-3)$

5 En el ángulo $\angle AOB=60^{\circ}$ hay dos circunferencias que están inscritas en el ángulo y son tangentes entre sí. Si denotamos con $r$ y $R$ los radios de la circunferencia menor y de la mayor respectivamente, y si $r=1$ , halle $R$ .

1 Halle todos los números de tres cifras tales que el cuadrado de ese número es igual a la suma de sus cifras elevadas a la potencia $5$ .

2 La suma de todos los coeficientes del polinomio $P(x)$ es igual a $2$ . Además, la suma de los coeficientes que están en las potencias impares de $x^k$ es igual a la suma de los coeficientes que están en las potencias pares de $x^k$ . Halle el residuo del polinomio $P(x)$ cuando se divide por $x^2-1$ .

3 Sean $a,b,c$ números complejos tales que $|a|=|b|=|c|=r$ ; demuestre entonces que $\left | \frac{ab+bc+ca}{a+b+c}\right|=r$

4 Entre todos los rectángulos con la misma diagonal $d$ , halle el de mayor área.

5 En el trapecio $ABCD$ con $AB$ paralelo a $CD$ demuestre que: $\frac{|AB|^2-|BC|^2+|AC|^2}{|CD|^2-|AD|^2+|AC|^2}=\frac{|AB|}{|CD|}=\frac{|AB|^2-|AD|^2+|BD|^2}{|CD|^2-|BC|^2+|BD|^2}$

1 Demuestre que para cualquier entero el número $2n^3+3n^2+7n$ es divisible por $6$ .

2 Resuelva $|x-1|-2|x+5|>3+x$ .

3 Un estudiante leyó el libro de $480$ páginas dos veces. Si en la segunda vez leyó cada día $16$ páginas más que en la primera vez y lo terminó $5$ días antes que en la primera vez, ¿por cuántos días leyó el libro la primera vez?