7 Un tetraedro $ABCD$ tiene todas sus aristas de longitud menor que $100$ , y contiene dos esferas disjuntas de diámetro $1$ . Demuestre que contiene una esfera de diámetro $1.01$ .

5 Determina todas las funciones $f$ de los reales a los reales para las cuales (1) $f(x)$ es estrictamente creciente y (2) $f(x) + g(x) = 2x$ para todo $x$ real, donde $g(x)$ es la función inversa composicional de $f(x)$. (Nota: se dice que $f$ y $g$ son inversas composicionales si $f(g(x)) = x$ y $g(f(x)) = x$ para todo $x$ real.)

G4 Sea $c(O, R)$ un círculo, $AB$ un diámetro y $C$ un punto arbitrario sobre el círculo, distinto de $A$ y $B$, tal que $\angle AOC > 90^o$. Sobre el radio $OC$ consideramos el punto $K$ y el círculo $c_1(K, KC)$. La prolongación del segmento $KB$ corta al círculo $(c)$ en el punto $E$. Desde $E$ trazamos las tangentes $ES$ y $ET$ al círculo $(c_1)$. Demuestra que las rectas $BE$, $ST$ y $AC$ son concurrentes.

G3 Dos círculos $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ se intersecan en los puntos $M,N$. Una recta $\ell$ es tangente a $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ en $A$ y $B$, respectivamente. Las rectas que pasan por $A$ y $B$ y son perpendiculares a $\ell$ intersecan a $MN$ en $C$ y $D$, respectivamente. Demuestra que $ABCD$ es un paralelogramo.

G2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero, sea $O$ el punto de intersección de las diagonales $AC$ y $BD$, y sea $P$ el punto de intersección de los lados $AB$ y $CD$. Considera los paralelogramos $AODE$ y $BOCF$. Demuestra que $E$, $F$ y $P$ son colineales.

G1 En un triángulo $ABC$, la excircunferencia $\omega_a$ opuesta a $A$ toca a $AB$ en $P$ y a $AC$ en $Q$, mientras que la excircunferencia $\omega_b$ opuesta a $B$ toca a $BA$ en $M$ y a $BC$ en $N$. Sea $K$ la proyección de $C$ sobre $MN$ y sea $L$ la proyección de $C$ sobre $PQ$. Muestra que el cuadrilátero $MKLP$ es cíclico. (Bulgaria)

4 Determine todos los enteros positivos $a,b$ con $a>1$ tales que $b$ sea un divisor de $a-1$ y $2a+1$ sea un divisor de $5b-3$ .

C5 Las celdas de un tablero de ajedrez de $n \times n$ están coloreadas con varios colores de modo que ningún cuadrado de $2\times 2$ contenga cuatro celdas del mismo color. Un camino propio de longitud $m$ es una secuencia $a_1,a_2,..., a_m$ de celdas distintas en la que las celdas $a_i$ y $a_{i+1}$ tienen un lado común y están coloreadas con colores distintos para todo $1 \le i < m$. Muestra que existe un camino propio de longitud $n$.

1995.4 Tenemos cuatro triángulos equiláteros blancos de $3$ cm de lado y los unimos por sus lados para obtener una pirámide de base triangular. En cada arista de la pirámide marcamos dos puntos rojos que la dividen en tres partes iguales. Numera los puntos rojos, de modo que al recorrerlos en el orden en que fueron numerados, resulte un camino con el menor perímetro posible. ¿Cuánto mide ese camino?

1995.5 Una tortuga camina a $60$ metros por hora y un lagarto camina a $240$ metros por hora. Hay un rectángulo $ABCD$ donde $AB =60$ y $AD =120$. Ambos parten del vértice $A$ y en la misma dirección ($A \to B \to D \to A$), recorriendo el borde del rectángulo. El lagarto tiene la costumbre de avanzar dos lados consecutivos del rectángulo, girar para retroceder uno, girar para avanzar dos, girar para retroceder uno y así sucesivamente. ¿Cuántas veces y en qué lugares se encuentran la tortuga y el lagarto cuando la tortuga completa su tercera vuelta?