$BL$ es la bisectriz de un triángulo isósceles $ABC$. Se elige un punto $D$ sobre la base $BC$ y un punto $E$ sobre el lado lateral $AB$ de modo que $AE=\frac{1}{2}AL=CD$. Demuestra que $LE=LD$. Tuymaada 2017 Q5 Juniors

6 Sea $\sigma(n)$ la suma de los divisores positivos de un número $n$. Se da un entero positivo $N=2^rb$, donde $r$ y $b$ son enteros positivos y $b$ es impar. Se sabe que $\sigma(N)=2N-1$. Demuestra que $b$ y $\sigma(b)$ son coprimos. Tuymaada Q6 Juniors

7 Un triángulo equilátero de lado $20$ se divide mediante series de líneas paralelas en $400$ triángulos equiláteros de lado $1$. ¿Cuál es el número máximo de estos triángulos pequeños que puede cruzar (internamente) una sola línea? Tuymaada 2017 Q7 Juniors

Considera el grafo con vértices $A_1,A_2,\dots A_{2015}$ , $B_1,B_2,\dots B_{2015}$ y aristas $A_iA _{i+1}, A_iB_i, B_iB_{i+17} $ , tomadas cíclicamente. ¿Es verdad que 4 policías pueden atrapar a un ladrón en este grafo para toda posición inicial? (Primero los 4 policías hacen un movimiento, luego el ladrón hace un movimiento, luego los policías hacen un movimiento, etc. Un movimiento consiste en saltar desde el vértice en el que estás a un vértice adyacente o en quedarte en tu vértice actual. Todos saben la posición de todos en todo momento. Los policías pueden coordinar sus movimientos. El ladrón es atrapado cuando comparte el mismo vértice con un policía.) Tuymaada 2017 Q8 Juniors

2 Igual que en junior

3 Igual que junior

4 Hay 25 máscaras de colores distintos. \(k\) sabios juegan el siguiente juego. Se les muestran todas las máscaras. Luego los sabios acuerdan su estrategia. Después se les ponen las máscaras de modo que cada sabio ve las máscaras de los demás pero no puede ver quién lleva cada máscara y no ve su propia máscara. No se permite comunicación alguna. Entonces cada uno de ellos nombra simultáneamente un color intentando adivinar el color de su máscara. Encuentra el \(k\) mínimo para el cual los sabios pueden ponerse de acuerdo de modo que al menos uno de ellos adivine con seguridad el color de su máscara. (S. Berlov)

5 ¿Existe un trinomio cuadrático $f(x)$ tal que $f(1/2017)=1/2018$, $f(1/2018)=1/2017$, y dos de sus coeficientes son enteros? (A. Khrabrov)

6 Sea $\sigma(n)$ la suma de los divisores positivos de un número $n$. Se da un entero positivo $N=2^r b$, donde $r$ y $b$ son enteros positivos y $b$ es impar. Se sabe que $\sigma(N)=2N-1$. Demuestra que $b$ y $\sigma(b)$ son primos relativos. (J. Antalan, J. Dris)

7 Un punto $E$ se encuentra sobre la extensión del lado $AD$ del rectángulo $ABCD$ más allá de $D$. El rayo $EC$ corta a la circunferencia circunscrita $\omega$ de $ABE$ en el punto $F \ne E$. Los rayos $DC$ y $AF$ se cortan en $P$. $H$ es el pie de la perpendicular trazada desde $C$ a la recta $\ell$ que pasa por $E$ y es paralela a $AF$. Demuestra que la recta $PH$ es tangente a $\omega$. (A. Kuznetsov)