8. Halle el número de funciones de $S = \{1,2,3,\dots,20\}$ en sí mismo tales que $f(n)$ es un múltiplo de $3$ siempre que $n$ sea un múltiplo de $4$ . ¿Cuántas de estas funciones son inyectivas? Pi-Infinity

9. Si $a, b, c, d$ son números reales positivos, demuestre que $$(a^3b + b^3c + c^3d + d^3a)(ab^3 + bc^3 + cd^3 + da^3) \ge 16a^2b^2c^2d^2.$$ Pi-Infinity

10. Halle todos los números primos $p$ tales que $16p + 1$ es un cubo perfecto. Pi-Infinity

11. Considere un círculo con diámetro $AB$ . $M$ y $N$ son puntos como se muestra en la figura. Usando únicamente un lápiz y una regla, construya una perpendicular desde $M$ a $AB$ y una perpendicular desde $N$ a la prolongación de $AB$ . [asy] size(250); import graph; // Geometry Setup pair O = (0,0); real r = 2.5; pair A = (-r, 0); pair B = (r, 0); // Exact placement matching your image: // M is above the right side of the circle. // N is further right, outside the circle's x-range. pair M = (1.0, 3.8); pair N = (4.0, 4.5); // Draw Circle and Diameter draw(circle(O, r), linewidth(0.8)); draw(A--B, linewidth(0.8)); // Dots and Labels dot(M); dot(N); label("$A$", A, W); label("$B$", B, E); label("$M$", M, N); label("$N$", N, N); // Optional: subtle dashed lines to show the "line" AB draw(B--(6,0), dashed+grey); shipout(bbox(2mm, invisible)); [/asy] Pi-Infinity

12. ¿Cuántos conjuntos de $3$ números cada uno pueden formarse a partir de los primeros veinte números naturales si no deben aparecer dos números consecutivos en un mismo conjunto? Pi-Infinity

13. Demuestre que para todo entero positivo $n$ , el número $5^n + 2 \times 3^{n-1} + 1$ es un múltiplo de $8$ . Pi-Infinity

14. Si $p$ y $q$ son números primos mayores que $3$ , demuestre que $p^2 - q^2$ es divisible por $24$ . Pi-Infinity

4 Una caja contiene $2023$ bolas verdes, $2024$ bolas rojas y $2025$ bolas azules. Se extraen dos bolas al azar. Si sus colores son iguales, se coloca en la caja una bola roja en lugar de las dos bolas extraídas. Si sus colores son diferentes, se coloca en la caja una bola del tercer color. Este proceso continúa hasta que solo queda una bola en la caja. ¿Cuál es el color de la bola restante?

15. Se elige un punto en cada lado de un cuadrado unitario. Estos cuatro puntos forman un cuadrilátero con lados $a, b, c, d$ . Demuestre que $2 \le a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \le 4$ y $2\sqrt{2} \le a + b + c + d \le 4$ . [asy] size(180); import geometry; // Vertices of the unit square pair S1=(0,1), S2=(1,1), S3=(1,0), S4=(0,0); draw(S1--S2--S3--S4--cycle, black+1pt); // Points on sides (using offsets x, y, z, w) pair P1 = (0.7, 1); // Top pair P2 = (1, 0.3); // Right pair P3 = (0.4, 0); // Bottom pair P4 = (0, 0.6); // Left // Draw the quadrilateral draw(P1--P2--P3--P4--cycle, blue+0.8pt); // Label the sides a, b, c, d label("$a$", midpoint(P1--P2), NE); label("$b$", midpoint(P2--P3), SE); label("$c$", midpoint(P3--P4), SW); label("$d$", midpoint(P4--P1), NW); // Optional: Label the square vertices if needed for clarity // label("$A$", S1, NW); label("$B$", S2, NE); [/asy] Pi-Infinity

16. En $\triangle ABC$ , las medianas $AD$ y $CE$ tienen longitudes $18$ y $27$ , respectivamente, y $AB = 24$ . Prolongue $CE$ hasta intersecar la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ en $F$ . Halle el área de $\triangle AFB$ . [asy] import graph; size(200); // Coordinates based on median intersection (Centroid G at origin) pair G = (0,0); pair A = (0,12); // AG = 12 (2/3 of median 18) pair D = (0,-6); // GD = 6 (1/3 of median 18) pair C = (18,0); // GC = 18 (2/3 of median 27) pair E = (-9,0); // GE = 9 (1/3 of median 27) // E is the midpoint of AB, so B = 2E - A pair B = (-18,-12); // Calculate circumcenter (O) of ABC // Intersection of perpendicular bisectors of AB and AC pair midAB = (A+B)/2; pair midAC = (A+C)/2; pair perpAB = rotate(90, midAB) * A; pair perpAC = rotate(90, midAC) * A; pair O = extension(midAB, perpAB, midAC, perpAC); real R = abs(A-O); // Draw circumcircle draw(circle(O, R)); // Line CE intersects circle at F. // F lies on the line passing through C(18,0) and E(-9,0), which is the x-axis. // Intersection of x-axis (y=0) and (x-Ox)^2 + (y-Oy)^2 = R^2 real Fx = O.x - sqrt(R^2 - O.y^2); // The point on the left side pair F = (Fx, 0); // Draw lines draw(A--B--C--cycle); draw(A--D); draw(C--F); draw(A--F, dashed + blue); draw(B--F, dashed + blue); // Labels dot("$A$", A, N); dot("$B$", B, SW); dot("$C$", C, SE); dot("$D$", D, S); dot("$E$", E, NW); dot("$F$", F, W); dot("$G$", G, NE); // Adding length labels to match problem info label("$12$", (A+E)/2, W); label("$12$", (B+E)/2, W); label("$18$", (G+C)/2, S); label("$9$", (G+E)/2, S); [/asy] Pi-Infinity