1 a) Demuestre que $$f(x) = \frac{(x^2- x)(x^2- x + 5) + 6}{(x^2-x) (x^2- x + 6) + 9}$$ define una función $f$ para todos los números reales x. b) Determine el recorrido de esta función.

2 Sobre cuatro círculos $k, k_1, k_2, k'$ se supone lo siguiente: Los círculos $k_1$ y $k_2$ son tangentes exteriormente entre sí; los centros de $k_1$ , $k_2$ , y $k$ se encuentran sobre una recta común; los círculos $k_1$ y $k_2$ son tangentes interiormente al círculo $k$ ; el círculo $k'$ es tangente exteriormente a los círculos $k_1$ y $k_2$ e interiormente al círculo $k$ . Demuestre, bajo estos supuestos, que para los radios $r, r'$ de $k$ y $k'$ , respectivamente, se cumple $ r'\le \frac{r}{3}$ . https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/b/2/dd3d8026e713759255aea7c664e61ae8c02b52.png

3 Halle todas las funciones $f$ que están definidas para todos los números reales $x$ con $x \ne 0$ y satisfacen las siguientes condiciones (1), (2), (3): (1) Para todos los números reales $x$ con $x \ne 0$ , $$f\left(\frac{1}{x}\right) = x \cdot f(x).$$ (2) Para todos los números reales $x$ y $y$ con $x \ne 0$ , $y \ne 0$ , y $x + y \ne 0$ , $$f\left(\frac{1}{x}\right) + f\left(\frac{1}{y}\right) = 1 +f\left(\frac{1}{x+y}\right). $$ (3) $f(1) = 2$ .

4 Sean $a, b$ , y $c$ números reales positivos tales que $\sqrt{a} +\sqrt{b} + \sqrt{c} = \frac12 \cdot \sqrt3$ . Demuestre que el sistema de ecuaciones $$\sqrt{y - a} + \sqrt{z - a} = 1 $$ $$\sqrt{z - b} +\sqrt{x - b} = 1 $$ $$\sqrt{x - c} + \sqrt{y - c} = 1 $$ tiene exactamente una solución $(x, y, z)$ , donde $x, y, z$ son números reales.

A3 Halle todas las funciones $f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que para todos los números reales $x$ y $y$ , $$f(x+f(y))+xy=f(x)f(y)+f(x)+y.$$ Andrew Carratu

6B Determine todos los números reales positivos $k$ para los cuales la sucesión $(x_n)$ definida por $$x_1 = 1, \,\,\, x_{n+1} =\sqrt{k(x^2_n + x_n)} \,\,\, (n = 1, 2, 3, ...)$$ converge. Para cada uno de tales números $k$ , determine el límite de la sucesión $(x_n)$ .

1 Sea $(x_n)$ la sucesión de números reales para la cual $x_1 = 1$ y se cumple lo siguiente: $$x_{n+1} = \frac{4x_n^2 + 1}{5x_n + 1} \,\,\, (n = 1, 2, 3, ...)$$ Investigue si esta sucesión es convergente y, si lo es, determine su límite.

2 a) Demuestre que existe un conjunto $M$ con las siguientes propiedades (1), (2), (3), (4): (1) Todo elemento de $M$ es un número natural. (2) El menor elemento de $M$ es el número $1$ . (3) El mayor elemento de $M$ es el número $100$ . (4) Todo elemento de $M$ , excepto el número $1$ , es la suma de dos elementos cualesquiera de $M$ o el doble de un elemento de $M$ . b) Halle un conjunto $M$ que satisfaga las condiciones (1), (2), (3), (4) y tenga el menor número posible de elementos. Demuestre que el conjunto $M$ hallado satisface estos requisitos.

3 Cuatro matemáticos T, D, S y P acuerdan un juego de adivinación con las siguientes reglas: T piensa en una terna $(x, y, z)$ de enteros tal que $1 \le x \le y \le z$ y $x + y + z \le 10$ . Luego debe decir a D el número d = y -x, a S el número $s = x + y + z$ , y a P el número $p = xyz$ , cada uno de tal manera que los otros dos no conozcan el valor del número dicho. Después, D, S y P deben discutir su información. Investigue si existe una terna $(x, y, z)$ con la cual, al jugarse este juego (después de que $d$ , $s$ , y $p$ hayan dado su información), puede tener lugar la siguiente conversación: P: “No puedo determinar de manera única la terna $(x, y, z)$ . ” S: “Ya lo sabía antes de que lo dijeras.” P: “Ahora puedo determinar la terna.” D: “Yo también.” S: “Yo también ahora.” Si tal terna existe, determine si ha quedado determinada de manera única mediante esta conversación. Si es así, ¡indique la terna!

4 Sean $P_1, P_2, ..., P_n$ puntos distintos en el plano, $ n \ge 2$ . Demuestre: $$\max_{ij}P_iP_j >\frac{\sqrt3}{2}(\sqrt{n}- 1) \cdot \min_{ij}P_iP_j \,\,\, (1 \le i < j \le n)$$