2 Demuestre que para todo número primo \(p\) , existen infinitos pares de enteros positivos \((m,n)\) tales que \([n\sqrt{p}] = \frac{3m^2 - m}{2}\) , donde \([x]\) denota la función parte entera. Propuesto por Qi Renrui

2 Sean $P,Q$ dos polinomios mónicos con coeficientes complejos tales que $P(P(x))=Q(Q(x))$ para todo $x$ . Demuestre que $P=Q$ . Marius Cavachi Cezar

6 Demuestre que en cualquier triángulo la longitud de la bisectriz más corta no excede tres veces el radio de la circunferencia inscrita.

4 Demuestre que: para todo $\varepsilon > 0$ , existe una constante $C{} > 0$ tal que se cumple la siguiente proposición: para todo entero positivo $n$ y cualesquiera $n$ enteros positivos $a_1, a_2, \dots, a_n$ que no superan $n^{1.1}$ , el número de elementos del conjunto $$\{(i, j) : 1 \leq i < j \leq n, i + j \mid a_i + a_j - 1\}$$ no supera $\frac{1}{4}n^2 + Cn^{1+\varepsilon}$ . Propuesto por Yubo Liao, Universidad de Pekín

4 Sea $n \geq 5$ un entero. Una familia de subconjuntos $\{A_1, A_2, \dots, A_m\}$ de $\{1, 2, \dots, n\}$ se llama $n$ - buena si: $m \geq 2$ ; $|A_i| \geq 3$ para todo $1 \leq i \leq m$ ; para cualesquiera $1 \leq x < y < z \leq n$ , existe exactamente un $1 \leq i \leq m$ tal que $\{x, y, z\} \subseteq A_i$ . Sea $f(n)$ el número mínimo de subconjuntos en una familia $n$ - buena. (1) Halle el mayor número real $\alpha$ tal que existe un número real positivo $c$ que satisface $f(n) \geq cn^{\alpha}$ . (2) Para el valor de $\alpha$ hallado en la parte (1), halle el mayor $c$ tal que para todo $\varepsilon > 0$ , $f(n) > (c - \varepsilon)n^{\alpha}$ se cumple para $n$ suficientemente grande. Propuesto por Cheng Jiang, estudiante de la Universidad de Tsinghua

2 Dado un entero $n \geq 4$ , sea $m = 2^{n-3}$ . Defina el conjunto $$S_n = \{(\alpha_1, \dots, \alpha_m) \in \mathbb{R}^m \mid \alpha_1 \geq \dots \geq \alpha_m \geq 0 \text{ and } \alpha_1 + \dots + \alpha_m = 1\}.$$ Para $\alpha = (\alpha_1, \dots, \alpha_m), \beta = (\beta_1, \dots, \beta_m) \in S_n$ , defina la función distancia $$d(\alpha, \beta) = \sum_{i=1}^{m} |\alpha_i - \beta_i|.$$ Halle el menor número real positivo $\lambda$ tal que para cualesquiera $x_1, x_2, \dots, x_n \in S_n$ , se cumple la siguiente desigualdad: $$\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} d(x_i, x_j) \leq \lambda.$$ Propuesto por Tianqin Li, Escuela Secundaria Afiliada a la Universidad Renmin de China

3 Sea \( n \) un entero positivo. Demuestre que existe una sucesión entera infinita \[ \ldots, t_{-1}, t_0, t_1, t_2, \ldots, t_n, \ldots \] tal que solo \( 2^n - n \) de sus términos son no nulos, y para cualesquiera \( n+2 \) términos consecutivos \( t_i, t_{i+1}, \ldots, t_{i+n+1} \) ( \( i \in \mathbb{Z} \) ) , existe un polinomio \( f(x) \) de grado a lo sumo \( n \) que satisface \[ |f(j) - t_j| \leq \frac{1}{2^n} \quad \text{for } j = i, i+1, \ldots, i+n+1. \] Propuesto por Lu Yiping

1 Sea $P_1$ un $n$ - gono regular, donde $n\in\mathbb{N}$ . Construimos $P_2$ como el $n$ - gono regular cuyos vértices son los puntos medios de las aristas de $P_1$ . Continuando de manera análoga, obtenemos $n$ - gonos regulares $P_3,P_4,\ldots ,P_m$ . Para $m\ge n^2-n+1$ , halle el número máximo $k$ tal que para cualquier coloración de los vértices de $P_1,\ldots ,P_m$ con $k$ colores existe un trapecio isósceles $ABCD$ cuyos vértices $A,B,C,D$ tienen el mismo color. Radu Ignat

2 Sea \( \Omega \) la circunferencia circunscrita de \( \triangle ABC \) , e \( I \) su incentro. \( BI \) corta a \( AC \) en \( B_1 \) , y \( CI \) corta a \( AB \) en \( C_1 \) . La prolongación de \( B_1C_1 \) corta a \( \Omega \) en \( K \) . Sea \( B_2 \) el punto medio de \( BI \) , y \( C_2 \) el punto medio de \( CI \) . La prolongación de \( B_2C_2 \) corta a \( \Omega \) en \( M \) . Demuestre que \( K, I, M \) son colineales. Propuesto por Gao Jiyang y Yu Chenjie

5 Sea $n$ un entero positivo y $a_1,a_2,\ldots a_{2n+1}$ reales positivos. Para $k=1,2,\ldots ,2n+1$ , denote $b_k = \max_{0\le m\le n}\left(\frac{1}{2m+1} \sum_{i=k-m}^{k+m} a_i \right)$ , donde los índices se toman módulo $2n+1$ . Demuestre que el número de índices $k$ que satisfacen $b_k\ge 1$ no excede $2\sum_{i=1}^{2n+1} a_i$ .