A3 Alice y Bob juegan un juego con una cadena de $n$ dígitos, cada uno de los cuales está restringido a ser $0$, $1$ o $2$. Inicialmente todos los dígitos son $0$. Una jugada legal consiste en sumar o restar $1$ a un dígito para crear una nueva cadena que no haya aparecido antes. Un jugador sin jugada legal pierde, y el otro jugador gana. Alice va primero, y los jugadores alternan turnos. Para cada $n \geq 1$, determina qué jugador tiene una estrategia que garantice ganar.

A4 Encuentra el valor mínimo de $k$ tal que existen matrices reales de $k \times k$, $A_1,\dots, A_{2025}$, con la propiedad de que $A_iA_j=A_jA_i$ si y solo si $|i-j| \in \{0,1,2024\}$.

A6 Sea $b_0=0$ y, para $n \ge 0$, define $b_{n+1}=2b_n^2+b_n+1$. Para cada $k \ge 1$, demuestra que $b_{2^{k+1}}-2b_{2^k}$ es divisible por $2^{2k+2}$ pero no por $2^{2k+3}$.

B1 Supón que cada punto del plano está coloreado de rojo o de verde, sujeto a la siguiente condición: Para cualesquiera tres puntos no colineales $A$, $B$, $C$ del mismo color, el centro de la circunferencia que pasa por $A$, $B$ y $C$ también es de ese color. Demuestra que todos los puntos del plano son del mismo color.

A5 Sea $n$ un entero con $n \ge 2$. Para una sucesión $s=(s_1,\dots,s_{n-1})$ donde cada $s_i=\pm 1$, sea $f(s)$ el número de permutaciones $(a_1,\dots,a_n)$ de $\{1,2,\dots,n\}$ tales que $s_i(a_{i+1}-a_i)>0$ para todo $i$. Para cada $n$, determina las sucesiones $s$ para las cuales $f(s)$ es máximo.

A1 Sean $m_0$ y $n_0$ enteros positivos distintos. Para cada entero positivo $k$, define $m_k$ y $n_k$ como los enteros positivos primos relativos tales que \[ \frac{m_k}{n_k}=\frac{2m_{k-1}+1}{2n_{k-1}+1}. \] Demuestra que $2m_k+1$ y $2n_k+1$ son primos relativos para todos salvo una cantidad finita de enteros positivos $k$.

B2 Sea $f \colon [0,1] \to [0,\infty)$ estrictamente creciente y continua. Sea $R$ la región acotada por $x=0$, $x=1$, $y=0$ y $y=f(x)$. Sea $x_1$ la coordenada $x$ del centroide de $R$. Sea $x_2$ la coordenada $x$ del centroide del sólido generado al rotar $R$ alrededor del eje $x$. Demuestra que $x_1<x_2$.

B3 Supón que $S$ es un conjunto no vacío de enteros positivos con la propiedad de que si $n$ está en $S$, entonces todo divisor positivo de $2025^n-15^n$ está en $S$. ¿Debe $S$ contener todos los enteros positivos?

B4 Para $n \geq 2$, sea $A = [a_{i,j}]_{i,j=1}^n$ una matriz de $n$ por $n$ con entradas enteras no negativas tal que $a_{i,j} = 0$ cuando $i+j \leq n$; $a_{i+1,j} \in \{a_{i,j}, a_{i,j}+1\}$ cuando $1 \leq i \leq n-1$ y $1 \leq j \leq n$; y $a_{i,j+1} \in \{a_{i,j}, a_{i,j}+1\}$ cuando $1 \leq i \leq n$ y $1 \leq j \leq n-1$. Sea $S$ la suma de las entradas de $A$, y sea $N$ el número de entradas distintas de cero de $A$. Demuestra que \[S \leq \frac{(n+2)N}{3}.\]

B5 Sea $p$ un número primo mayor que $3$. Para cada $k \in \{1,\dots,p-1\}$, sea $I(k) \in \{1,2,\dots,p-1\}$ tal que $k \cdot I(k) \equiv 1 \pmod{p}$. Demuestra que el número de enteros $k \in \{1,\dots,p-2\}$ tales que $I(k+1)<I(k)$ es mayor que $p/4-1$.