8 Se juega un torneo entre $n$ personas. Todos juegan contra todos una vez. No hay empates. Un número $k$ se llama $n$-bueno si existe algún torneo tal que en ese torneo haya un jugador que haya perdido contra todos los $k$ jugadores. Demuestre que 1. $n$ es mayor o igual que $2^{k+1}-1$; 2. Halle todos los $n$ tales que $2$ es $n$-bueno.

1 (a) Demuestre que $n(n + 1)(n + 2)$ es divisible por $6$. (b) Demuestre que $1^{2015} + 2^{2015} + 3^{2015} + 4^{2015} + 5^{2015} + 6^{2015}$ es divisible por $7$.

2 (a) ¿Cuántos divisores enteros positivos tiene $6000$? (b) ¿Cuántos divisores enteros positivos de $6000$ no son cuadrados perfectos?

3 $\triangle ABC$ es isósceles con $AB = AC$. $P$ es un punto interior de $\triangle ABC$ tal que $\angle BCP = 30$ y $\angle APB = 150$ y $\angle CAP = 39$. Halle $\angle BAP$.

4 Considere el conjunto de enteros $ \left \{ 1, 2, \dots , 100 \right \} $ . Sea $ \left \{ x_1, x_2, \dots , x_{100} \right \}$ una disposición arbitraria de los enteros $ \left \{ 1, 2, \dots , 100 \right \}$ , donde todos los $x_i$ son diferentes. Halle el menor valor posible de la suma $$S = \left | x_2 - x_1 \right | + \left | x_3 - x_2 \right | + \cdots+ \left |x_{100} - x_{99} \right | + \left |x_1 - x_{100} \right | .$$

5 Suponga que hay $m$ marcianos y $n$ terrícolas en una conferencia de paz intergaláctica. Para asegurar que los marcianos permanezcan pacíficos en la conferencia, debemos garantizar que no haya dos marcianos sentados juntos, de modo que entre dos marcianos cualesquiera haya siempre al menos un terrícola. (a) Suponga que todos los $m + n$ marcianos y terrícolas se sientan en una fila. ¿De cuántas maneras pueden sentarse los terrícolas y los marcianos en una fila? (b) Suponga ahora que los $m+n$ marcianos y terrícolas se sientan alrededor de una mesa redonda. ¿De cuántas maneras pueden sentarse los terrícolas y los marcianos alrededor de la mesa redonda?

6 $\triangle ABC$ es un triángulo isósceles con $AC = BC$ y $\angle ACB < 60^{\circ}$. $I$ y $O$ son el incentro y el circuncentro de $\triangle ABC$. La circunferencia circunscrita de $\triangle BIO$ interseca a $BC$ en $D \neq B$. (a) ¿Se intersecan las rectas $AC$ y $DI$? Dé una demostración. (b) ¿Cuál es el ángulo de intersección entre las rectas $OD$ y $IB$?

7 Juli es una matemática y diseñó un algoritmo para encontrar marido. La estrategia es: • Comience entrevistando como máximo a $1000$ posibles maridos. Asigne a cada persona una clasificación $r$ que es un entero positivo. No hay dos candidatos con la misma clasificación $r$. • Rechace a los primeros $k$ hombres y sea $H$ la clasificación más alta de estos $k$ hombres. • Después de rechazar a los primeros $k$ hombres, seleccione al siguiente candidato con una clasificación mayor que $H$ y detenga la búsqueda inmediatamente. Si ningún candidato es seleccionado después de $999$ entrevistas, se selecciona a la $1000th$ persona. Juli quiere hallar el valor de $k$ para el cual tiene la mayor probabilidad de elegir al candidato de mayor clasificación entre los $1000$ candidatos sin tener que entrevistar a los $1000$ candidatos. (a) (6 puntos:) ¿Cuál es la probabilidad de que el candidato de mayor clasificación entre los $1000$ candidatos sea el candidato $(m + 1)th$? (b) (6 puntos:) Suponga que el candidato de mayor clasificación es la persona $(m + 1)th$ en ser entrevistada. ¿Cuál es la probabilidad de que el candidato de mayor clasificación entre los primeros $m$ candidatos sea uno de los primeros $k$ candidatos que fueron rechazados? (c) (6 puntos:) ¿Cuál es la probabilidad de que el candidato con la clasificación más alta sea la persona $(m+1)th$ y de que Juli elija al hombre $(m+1)th$ usando este algoritmo? (d) (16 puntos:) La probabilidad total de que Juli elija al candidato de mayor clasificación entre los $1000$ candidatos es la suma de las probabilidades para cada valor posible de $m+1$, con $m+1$ variando entre $k+1$ y $1000$. Halle la suma. Para simplificar su respuesta, use la fórmula $In N \approx \frac{1}{N-1}+\frac{1}{N-2}+...+\frac{1}{2}+1$ (e) (6 puntos:) Halle el valor de $k$ que maximiza la probabilidad de elegir al candidato de mayor clasificación sin entrevistar a los $1000$ candidatos. Puede necesitar saber que el máximo de la función $x ln \frac{A}{x-1}$ es aproximadamente $\frac{A + 1}{e}$, donde $A$ es una constante y $e$ es el número de Euler, $e = 2.718....$

9 Considere la integral $Z(0)=\int^{\infty}_{-\infty} dx e^{-x^2}= \sqrt{\pi}$. (a) Demuestre que la integral $Z(j)=\int^{\infty}_{-\infty} dx e^{-x^{2}+jx}$, donde $j$ no es una función de $x$, es $Z(j)=e^{j^{2}/4a} Z(0)$. (b) Demuestre que $$\dfrac 1 {Z(0)}=\int x^{2n} e^{-x^2}= \dfrac {(2n-1)!!}{2^n},$$ donde $(2n-1)!!$ se define como $(2n-1)(2n-3)\times\cdots\times3\times 1$. (c) ¿Cuál es el número de maneras de formar $n$ pares a partir de $2n$ objetos distintos? Interprete la parte anterior del problema en términos de esta respuesta.

7 En el triángulo $\triangle ABC$, los puntos $A', B', C'$ están en los lados $BC, AC, AB$ respectivamente. Además, $AA', BB', CC'$ se intersecan en el punto $O$ (son concurrentes en $O$). También, $\frac {AO}{OA'}+\frac {BO}{OB'}+\frac {CO}{OC'} = 92$. Halle el valor de $\frac {AO}{OA'}\times \frac {BO}{OB'}\times \frac {CO}{OC'}$.