N1 Determina todos los enteros \(n \ge 3\) cuya expansión decimal tiene menos de \(20\) dígitos, tales que todo no-residuo cuadrático módulo \(n\) sea una raíz primitiva módulo \(n\). Un entero \(a\) es un no-residuo cuadrático módulo \(n\) si no existe un entero \(b\) tal que \(a - b^2\) sea divisible por \(n\). Un entero \(a\) es una raíz primitiva módulo \(n\) si para todo entero \(b\) primo relativo con \(n\) existe un entero positivo \(k\) tal que \(a^k - b\) sea divisible por \(n\).

N2 Dado un primo $p$, demuestra que la suma $\sum_{k=1}^{\lfloor \frac{q}{p} \rfloor}{k^{p-1}}$ no es divisible por $q$ para todos salvo finitamente muchos primos $q$. ThE-dArK-lOrD

1. Dado el trapecio $ABCD$ , donde $M$ y $N$ son los puntos medios de las bases $AD$ y $BC$ , respectivamente. a) Demuestra que el trapecio es isósceles si se sabe que el punto de intersección de las mediatrices de los lados laterales pertenece al segmento $MN$ . b) ¿Sigue siendo cierta la afirmación del inciso a) si solo se sabe que el punto de intersección de las mediatrices de los lados laterales pertenece a la recta $MN$ ?

2 Encuentra todas las funciones \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) que satisfacen la igualdad, \[f(x+f(y))=f(x-f(y))+4xf(y)\] para cualesquiera \(x,y\in\mathbb{R}\).

3 Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de todos los enteros positivos. Un par ordenado $(a;b)$ de números $a,b\in\mathbb{N}$ se llama interesante si para cualquier $n\in\mathbb{N}$ existe $k\in\mathbb{N}$ tal que el número $a^k+b$ es divisible por $2^n$. Encuentra todos los pares ordenados interesantes.

1 Encuentra el número máximo de conjuntos que satisfacen simultáneamente las siguientes condiciones: i) cualquiera de los conjuntos consta de $4$ elementos, ii) cualesquiera dos conjuntos diferentes tienen exactamente $2$ elementos comunes, iii) no hay dos elementos que sean comunes a todos los conjuntos.

2 Sea $n$ un entero, $n>1$. Un elemento del conjunto $M=\{ 1,2,3,\ldots,n^2-1\}$ se llama bueno si existe algún elemento $b$ de $M$ tal que $ab-b$ es divisible por $n^2$. Además, un elemento $a$ se llama muy bueno si $a^2-a$ es divisible por $n^2$. Sea $g$ el número de elementos buenos en $M$ y $v$ el número de elementos muy buenos en $M$. Demuestra que \[v^2+v \leq g \leq n^2-n.\]

3 Las diagonales de un cuadrilátero cíclico $ABCD$ se intersectan en el punto $K.$ Los puntos medios de las diagonales $AC$ y $BD$ son $M$ y $N,$ respectivamente. Los círculos circunscritos $ADM$ y $BCM$ se intersectan en los puntos $M$ y $L.$ Demuestra que los puntos $K ,L ,M,$ y $ N$ están sobre un círculo. (se supone que todos los puntos son distintos.)

1 Encuentra todos los números enteros $a, b, m$ y $n$ tales que se verifican las siguientes dos igualdades: $a^2+b^2=5mn$ y $m^2+n^2=5ab$

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $A_1, B_1$ y $C_1$, puntos sobre los lados $BC, CA$ y $AB$, respectivamente, tales que $CB_1 = A_1B_1$ y $BC_1 = A_1C_1$. Sea $D$ el simétrico de $A_1$ con respecto a $B_1C_1$, $O$ y $O_1$ son los circuncentros de los triángulos $ABC$ y $A_1B_1C_1$, respectivamente. Si $A \ne D$, $O \ne O_1$ y $AD$ es perpendicular a $OO_1$, demuestra que $AB = AC$.