1 Considere un polígono de $n$ - lados inscrito en una circunferencia ( $n \geq 4$ ) . Particióne el polígono en $n-2$ triángulos usando diagonales que no se intersecan. Demuestre que, independientemente de la triangulación, la suma de los inradios de los triángulos es constante.

3 Considere una matriz de tamaño $n\times n$ cuyas entradas son números reales de valor absoluto que no excede $1$ . La suma de todas las entradas de la matriz es $0$ . Sea $n$ un entero positivo par. Determine el menor número $C$ tal que toda matriz de este tipo tiene necesariamente una fila o una columna cuya suma de entradas no excede $C$ en valor absoluto. Propuesto por Marcin Kuczma, Polonia

1 Para un triángulo ABC dado, sea X un punto variable sobre la recta BC tal que el punto C se encuentra entre los puntos B y X. Demuestre que el eje radical de las circunferencias inscritas de los triángulos ABX y ACX pasa por un punto independiente de X. Esta es una ligera extensión del problema 7 de geometría de la IMO Shortlist 2004 y puede encontrarse, junto con la solución propuesta, entre los archivos subidos en http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=15622 . Nótese que el problema fue propuesto por Rusia. No pude encontrar los nombres de los autores, pero sospecho de dos personas en particular. Quizás alguien podría arrojar algo de luz sobre esto... Darij darij

2 Determine todos los enteros positivos $n > 2$ tales que \[ \frac{1}{2} \varphi(n) \equiv 1 ( \bmod 6) \]

3 Para números reales $a,b,c,d$ no todos iguales a $0$ , defina una función real $f(x) = a +b\cos{2x} + c\sin{5x} +d \cos{8x}$ . Suponga que $f(t) = 4a$ para algún real $t$ . Demuestre que existe un número real $s$ tal que $f(s)<0$

1 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Sean $P$ , $Q$ , $R$ los pies de las perpendiculares trazadas desde $D$ a las rectas $BC$ , $CA$ , $AB$ , respectivamente. Demuestre que $PQ=QR$ si y solo si las bisectrices de $\angle ABC$ y $\angle ADC$ son concurrentes con $AC$ .

2 Demuestre que para todo entero positivo $n$ existe un número de $n$ - dígitos divisible por $5^n$ cuyos dígitos son todos impares.

3 Para $a,b,c$ reales positivos halle el valor mínimo de \[ \frac{a^2+b^2}{c^2+ab}+\frac{b^2+c^2}{a^2+bc}+\frac{c^2+a^2}{b^2+ca}. \]

4 Dada una permutación $\sigma = (a_1,a_2,a_3,...a_n)$ de $(1,2,3,...n)$ , un par ordenado $(a_j,a_k)$ se llama una inversión de $\sigma$ si $a \leq j < k \leq n$ y $a_j > a_k$ . Sea $m(\sigma)$ el número de inversiones de la permutación $\sigma$ . Halle el promedio de $m(\sigma)$ cuando $\sigma$ recorre todas las permutaciones.

1 Demuestre que en cualquier triángulo $ABC$ , \[ 0 < \cot { \left( \frac{A}{4} \right)} - \tan{ \left( \frac{B}{4} \right) } - \tan{ \left( \frac{C}{4} \right) } - 1 < 2 \cot { \left( \frac{A}{2} \right) }. \]