1 Halle todos los enteros positivos $m$ para los cuales existen dos enteros positivos distintos $a$ y $b$ tales que los números $2017^{2018^{a}}+m^{2018^{a}}$ y $2017^{2018^{b}}+m^{2018^{b}}$ no son primos relativos.

3 La circunferencia $ \omega $ que pasa por los vértices $ A $ y $ B $ del triángulo $ ABC $ interseca los lados $ AC $ y $ BC $ en los puntos $ E $ y $ F $ , respectivamente. La circunferencia $ \Gamma $ es tangente al segmento $ EF $ en el punto $ P $ y al arco $ AB $ de la circunferencia circunscrita del triángulo $ ABC $ en el punto $ Q $ . Demuestre que $ C $ , $ P $ , $ Q $ están sobre una misma recta.

2 $ ABC$ y $ A'B'C'$ son dos triángulos en el mismo plano tales que las rectas $ AA',BB',CC'$ son mutuamente paralelas. Sea $ [ABC]$ el área del triángulo $ ABC$ con un signo $ \pm$ apropiado, etc.; demuestra que \[ 3([ABC] + [A'B'C']) = [AB'C'] + [BC'A'] + [CA'B'] + [A'BC] + [B'CA] + [C'AB].\]

3 Si \( a\) y \( b\) son dos de las raíces de \( x^4+x^3-1=0\) , demuestra que \( ab\) es una raíz de \( x^6+x^4+x^3-x^2-1=0\) .

4 Demuestra que si los lados opuestos de un cuadrilátero alabeado (no plano) son congruentes, entonces la recta que une los puntos medios de las dos diagonales es perpendicular a estas diagonales, y recíprocamente, si la recta que une los puntos medios de las dos diagonales de un cuadrilátero alabeado es perpendicular a estas diagonales, entonces los lados opuestos del cuadrilátero son congruentes.

5 Si \( a,b,c,d,e \) son números positivos acotados por \( p \) y \( q \), es decir, si están en \( [p,q], 0 < p \), demuestra que \[ (a + b + c + d + e)\left(\frac {1}{a} + \frac {1}{b} + \frac {1}{c} + \frac {1}{d} + \frac {1}{e}\right) \le 25 + 6\left(\sqrt {\frac {p}{q}} - \sqrt {\frac {q}{p}}\right)^2\] y determina cuándo hay igualdad.

1 (a) Supón que cada cuadrado de un tablero de ajedrez de 4 x 7 se colorea de negro o de blanco. Demuestra que, con cualquier coloración de este tipo, el tablero debe contener un rectángulo (formado por las líneas horizontales y verticales del tablero) cuyas cuatro esquinas unitarias distintas sean todas del mismo color. (b) Muestra una coloración blanco-negro de un tablero de 4 x 6 en la que las cuatro esquinas de cada rectángulo, como se describió antes, no sean todas del mismo color.

2 Si \( A \) y \( B \) son puntos fijos sobre una circunferencia dada y \( XY \) es un diámetro variable de la misma circunferencia, determina el lugar geométrico del punto de intersección de las rectas \( AX \) y \( BY \). Puedes suponer que \( AB \) no es un diámetro.

3 Determina todas las soluciones enteras de \[ a^2+b^2+c^2=a^2b^2.\]

4 Si la suma de las longitudes de las seis aristas de un tetraedro trirectángulo $ PABC$ (es decir, $ \angle APB = \angle BPC = \angle CPA = 90^\circ$ ) es $ S$ , determina su volumen máximo.