5 Sea $n$ un entero positivo. Define un camaleón como cualquier secuencia de $3n$ letras, con exactamente $n$ ocurrencias de cada una de las letras $a, b$ y $c$. Define un intercambio como la transposición de dos letras adyacentes en un camaleón. Demuestra que para cualquier camaleón $X$, existe un camaleón $Y$ tal que $X$ no puede transformarse en $Y$ usando menos de $3n^2/2$ intercambios.

4 4. Sean $a \geq b \geq c \geq d>0$ . Demuestre que \[ \frac{b^3}{a} + \frac{c^3}{b} + \frac{d^3}{c} + \frac{a^3}{d} + 3 \left( ab+bc+cd+da \right) \geq 4 {\left( a^2 + b^2 + c^2 +d^2 \right)}. \] Otros problemas (en coreano) también están disponibles en https://www.facebook.com/KoreanMathOlympiad

2 Sea un triángulo escaleno $ABC$ , y su circunferencia inscrita toca a $BC, CA, AB$ en $D, E, F$ . La mediatriz de $BC$ corta a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $P, Q$ , donde $P$ está en el mismo lado que $A$ con respecto a $BC$ . Sea la recta paralela a $AQ$ que pasa por $D$ y corta a $EF$ en $R$ . Demuestre que la intersección entre $EF$ y $PQ$ se encuentra sobre la circunferencia circunscrita de $BCR$ .

6 Halle todas las funciones $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que (i): Para reales distintos $x,y$ , $f(x) \not= f(y)$ . (ii): Para todos los reales $x,y$ , $f(x+f(f(-y)))=f(x)+f(f(y))$

1 Sean $a_1, a_2, . . . $ números reales positivos que satisfacen (i) $a_{n+1}=a_1^2\cdot a_2^2 \cdot . . . \cdot a_n^2-3$ ( para todos los enteros positivos $n$ ) (ii) $\frac{1}{2}(a_1+\sqrt{a_2-1})$ es un entero positivo. Demuestre que $\frac{1}{2}(a_1 \cdot a_2 \cdot . . . \cdot a_n + \sqrt{a_{n+1}-1})$ es un entero positivo

8 Para todo conjunto $S$ con $n(\ge3)$ enteros distintos, demuestre que existe una función $f:\{1,2,\dots,n\}\rightarrow S$ que satisface las dos condiciones siguientes. (i) $\{ f(1),f(2),\dots,f(n)\} = S$ (ii) $2f(j)\neq f(i)+f(k)$ para todos $1\le i<j<k\le n$ .

1 Halle todos los enteros positivos $n$ y los enteros no negativos $a_1,a_2,\dots,a_n$ que satisfacen: $i$ divide exactamente a $a_i$ números entre $a_1,a_2,\dots,a_n$ , para cada $i=1,2,\dots,n$ . ( $0$ es divisible por todos los enteros.)

4 Halle todos los enteros positivos $n$ que satisfacen que $$\frac{n(n+2016)(n+2\cdot 2016)(n+3\cdot 2016) . . . (n+2015\cdot 2016)}{1\cdot 2 \cdot 3 \cdot . . . . . \cdot 2016}$$ es un entero positivo.

5 Sea $n \in \mathbb {N^+}$ . Demuestre que la siguiente ecuación puede expresarse como un polinomio en $n$ . $$\left[2\sqrt {1}\right]+\left[2\sqrt {2}\right]+\left[2\sqrt {3}\right]+ . . . +\left[2\sqrt {n^2}\right]$$

6 La circunferencia $O_1$ es tangente a $AC$ , $BC$ ( lados del triángulo $ABC$ ) en los puntos $D, E$ . La circunferencia $O_2$ contiene a $O_1$ y es tangente a $BC$ , $AB$ ( lados del triángulo $ABC$ ) en los puntos $E, F$ . La tangente a $O_2$ en $P(DE \cap O_2, P \neq E)$ corta a $AB$ en $Q$ . Una recta que pasa por $O_1$ ( centro de $O_1$ ) y es paralela a $BO_2$ ( $O_2$ es también el centro de $O_2$ ) corta a $BC$ en $G$ , $EQ \cap AC=K, KG \cap EF=L$ , $EO_2$ corta a la circunferencia $O_2$ en $N(\neq E)$ , $LO_2 \cap FN=M$ . Si $N$ es el punto medio de $FM$ , demuestre que $BG=2EG$