G8 Sea $AA'BCC'B'$ un hexágono cíclico convexo tal que $AC$ es tangente a la circunferencia inscrita del triángulo $A'B'C'$ y $A'C'$ es tangente a la circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ . Las rectas $AB$ y $A'B'$ se cortan en $X$ y las rectas $BC$ y $B'C'$ se cortan en $Y$ . Demuestre que si $XBYB'$ es un cuadrilátero convexo, entonces tiene una circunferencia inscrita.

2 Se da una tabla de $100 \times 100$ . Al principio, en cada casilla unitaria está escrito el número $"0"$ . Dos jugadores juegan un juego y este termina después de $200$ pasos (cada jugador juega $100$ pasos). En cada paso, uno puede elegir una fila o una columna y sumar $1$ al número escrito en todas sus casillas $\pmod 3.$ El primer jugador gana si en más de la mitad de las casillas ( $5000$ casillas) está escrito el número $"1"$ , el segundo jugador gana si en más de la mitad de las casillas ( $5000$ casillas) está escrito el número $"0"$ . De lo contrario, el juego es un empate. Suponga que ambos jugadores juegan lo mejor posible. ¿Cuál será el resultado del juego? Propuesto por Mahyar Sefidgaran

N2 Halle todos los enteros positivos $n>2$ tales que $$ n! \mid \prod_{ p<q\le n, p,q \, \text{primes}} (p+q)$$ Aryan-23

N3 Sea $a > 1$ un entero positivo y sea $d > 1$ un entero positivo coprimo con $a$ . Sea $x_1=1$ y, para $k\geq 1$ , defina $$x_{k+1} = \begin{cases} x_k + d &\text{if } a \text{ does not divide } x_k \\ x_k/a & \text{if } a \text{ divides } x_k \end{cases}$$ Halle, en términos de $a$ y $d$ , el mayor entero positivo $n$ para el cual existe un índice $k$ tal que $x_k$ es divisible por $a^n$ .

N4 Halle todas las ternas $(a,b,p)$ de enteros positivos con $p$ primo y \[ a^p=b!+p. \]

N5 Para cada $1\leq i\leq 9$ y $T\in\mathbb N$ , defina $d_i(T)$ como el número total de veces que aparece el dígito $i$ cuando todos los múltiplos de $1829$ entre $1$ y $T$ inclusive se escriben en base $10$ . Demuestre que existen infinitos $T\in\mathbb N$ tales que hay exactamente dos valores distintos entre $d_1(T)$ , $d_2(T)$ , $\dots$ , $d_9(T)$ .

G7 Dos triángulos $ABC, A’B’C’$ tienen el mismo ortocentro $H$ y la misma circunferencia circunscrita con centro $O$ . Siendo $PQR$ el triángulo formado por $AA’, BB’, CC’$ , demuestre que el circuncentro de $PQR$ está sobre $OH$ .

G6 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con altura $\overline{AH}$ , y sea $P$ un punto variable tal que las bisectrices $k$ y $\ell$ de los ángulos $\angle PBC$ y $\angle PCB$ , respectivamente, se cortan sobre $\overline{AH}$ . La recta $k$ corta a $\overline{AC}$ en $E$ , $\ell$ corta a $\overline{AB}$ en $F$ y $\overline{EF}$ corta a $\overline{AH}$ en $Q$ . Demuestre que cuando $P$ varía, la recta $PQ$ pasa por un punto fijo.

2 Dados $ n$ países con tres representantes cada uno, $ m$ comités $ A(1),A(2), \ldots, A(m)$ se denominan un ciclo si (i) cada comité tiene $ n$ miembros, uno de cada país; (ii) no hay dos comités con la misma membresía; (iii) para $ i = 1, 2, \ldots,m$ , el comité $ A(i)$ y el comité $ A(i + 1)$ no tienen ningún miembro en común, donde $ A(m + 1)$ denota $ A(1);$ (iv) si $ 1 < |i - j| < m - 1,$ entonces los comités $ A(i)$ y $ A(j)$ tienen al menos un miembro en común. ¿Es posible tener un ciclo de 1990 comités con 11 países?

3 Sea $ n \geq 3$ y considere un conjunto $ E$ de $ 2n - 1$ puntos distintos sobre una circunferencia. Suponga que exactamente $ k$ de estos puntos deben colorearse de negro. Tal coloración es buena si existe al menos un par de puntos negros tal que el interior de uno de los arcos entre ellos contiene exactamente $ n$ puntos de $ E$ . Halle el menor valor de $ k$ para el cual toda coloración de $ k$ puntos de $ E$ es buena.