Olimpiada Matemática Nacional de Kosovo 2010 Problema 2
2 Se da la ecuación $x^2-(m+3)x+m+2=0$ . Si $x_1$ y $x_2$ son sus soluciones, halle todos los $m$ tales que $\frac{x_1}{x_1+1}+\frac{x_2}{x_2+1}=\frac{13}{10}$ .
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Olimpiada Matemática Nacional de Kosovo 2010 Problema 4
4 Sean $a,b,c$ enteros no negativos. Suponga que $c$ es par y $a^5+4b^5=c^5$ . Demuestre que $b=0$ .
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Olimpiada Matemática Nacional de Kosovo 2010 Problema 5
5 igual que 9.5
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Olimpiada Matemática Nacional de Kosovo 2011 Problema 3
3 Halle el valor máximo de la función $f(x)=8-3\sin^2 (3x)+6 \sin (6x)$ .
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Olimpiada Matemática Nacional de Kosovo 2011 Problema 4
4 Se da un punto $P$ en el cuadrado $ABCD$ tal que $\overline{PA}=3$ , $\overline{PB}=7$ y $\overline{PD}=5$ . Halle el área del cuadrado.
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Olimpiada Matemática Nacional de Kosovo 2011 Problema 1
1 Se dan los números complejos $z_1$ y $z_2$ tales que $z_1=-1+i$ y $z_2=2+4i$ . Halle el número complejo $z_3$ tal que $z_1,z_2,z_3$ sean los vértices de un triángulo equilátero. ¿Cuántas soluciones hay ?
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Olimpiada Matemática Nacional de Kosovo 2010 Problema 2
2 Se da el conjunto $S\subseteq \mathbb{R}$ con las propiedades: $(a) \mathbb{Z}\subset S$ , $(b) (\sqrt 2 +\sqrt 3)\in S$ , $(c)$ Si $x,y\in S$ entonces $x+y\in S$ , y $(d)$ Si $x,y\in S$ entonces $x\cdot y\in S$ . Demuestre que $(\sqrt 2+\sqrt 3)^{-1}\in S$ .
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Olimpiada Matemática Nacional de Kosovo 2010 Problema 3
3 Sea $n\in \mathbb{N}$ . Demuestre que el polinomio $p(x)=x^{2n}-2x^{2n-1}+3x^{2n-2}-...-2nx+2n+1$ no tiene raíces reales.
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Olimpiada Matemática Nacional de Kosovo 2010 Problema 4
4 Sea $(p_1,p_2,..., p_n)$ una permutación aleatoria del conjunto $\{1,2,...,n)$ . Si $n$ es impar, demuestre que el producto $(p_1-1)\cdot (p_2-2)\cdot ...\cdot (p_n-n)$ es un número par. @below fixed.
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Olimpiada Matemática Nacional de Kosovo 2009 Problema 1
1 Halle la gráfica de la función $y=x-|x+x^2|$ .
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