8 Para un entero positivo $ n,$ $ a_{n}=n\sqrt{5}- \lfloor n\sqrt{5}\rfloor$ . Calcule el valor máximo y el valor mínimo de $ a_{1},a_{2},\ldots ,a_{2009}.$

G5 Sean $D,E,F$ los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita de un triángulo dado $ABC$ con los lados $BC, CA, AB,$ respectivamente. Denote por $I$ el incentro de $ABC$ , por $M$ el punto medio de $BC$ y por $G$ el pie de la perpendicular trazada desde $M$ a la recta $EF$ . Demuestre que la recta $ID$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $MGI$ .

1 (a) Determine si el conjunto $ \{1,2,\ldots,96\}$ puede ser particionado en 32 conjuntos del mismo tamaño y de igual suma. (b) Determine si el conjunto $ \{1,2,\ldots,99\}$ puede ser particionado en 33 conjuntos del mismo tamaño y de igual suma.

2 Sea $ \varphi(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ un polinomio con coeficientes reales. Dado que $ \varphi(x)$ tiene tres raíces reales positivas y que $ \varphi(0) < 0$, demuestre que \[ 2b^3 + 9a^2d - 7abc \leq 0.\]

3 Determine el menor número real $ a$ mayor que $ 1$ tal que para cualquier punto $ P$ en el interior del cuadrado $ ABCD$, la razón de áreas entre dos de los triángulos $ PAB$, $ PBC$, $ PCD$, $ PDA$ está en el intervalo $ \left[\frac {1}{a},a\right]$ .

4 Los triángulos equiláteros $ ABQ$, $ BCR$, $ CDS$, $ DAP$ se erigen en el exterior del cuadrilátero convexo $ ABCD$. Sean $ X$, $ Y$, $ Z$, $ W$ los puntos medios de los segmentos $ PQ$, $ QR$, $ RS$, $ SP$, respectivamente. Determine el máximo valor de \[ \frac {XZ+YW}{AC + BD}.\]

5 En el cuadrilátero convexo $ ABCD$, $ AB = BC$ y $ AD = DC$. El punto $ E$ está en el segmento $ AB$ y el punto $ F$ está en el segmento $ AD$ tales que $ B$, $ E$, $ F$, $ D$ están en una circunferencia. El punto $ P$ es tal que los triángulos $ DPE$ y $ ADC$ son semejantes y los vértices correspondientes están en la misma orientación (horaria o antihoraria). El punto $ Q$ es tal que los triángulos $ BQF$ y $ ABC$ son semejantes y los vértices correspondientes están en la misma orientación. Demuestre que los puntos $ A$, $ P$, $ Q$ son colineales.

6 Sea $ (x_1,x_2,\cdots)$ una sucesión de números positivos tal que $ (8x_2 - 7x_1)x_1^7 = 8$ y \[ x_{k + 1}x_{k - 1} - x_k^2 = \frac {x_{k - 1}^8 - x_k^8}{x_k^7x_{k - 1}^7} \text{ for }k = 2,3,\ldots\] Determine el número real $ a$ tal que si $ x_1 > a$, entonces la sucesión es monótonamente decreciente, y si $ 0 < x_1 < a$, entonces la sucesión no es monótona.

7 En un tablero de ajedrez $ 2008 \times 2008$ dado, cada cuadrado unitario está coloreado con un color diferente. Cada cuadrado unitario se rellena con una de las letras C, G, M, O. El tablero resultante se llama armónico si cada subcuadrado $ 2 \times 2$ contiene las cuatro letras diferentes. ¿Cuántos tableros armónicos hay?

8 Para enteros positivos $ n$, $ f_n = \lfloor2^n\sqrt {2008}\rfloor + \lfloor2^n\sqrt {2009}\rfloor$ . Demuestre que hay infinitos números impares e infinitos números pares en la sucesión $ f_1,f_2,\ldots$ .