2 Sea $S= \{ a_1, \ldots, a_n\}$ un conjunto de $n\geq 1$ números reales positivos. Para cada subconjunto no vacío de $S$ se escribe la suma de sus elementos. Demuestre que todos los números escritos pueden dividirse en $n$ clases tal que en cada clase la razón entre el mayor número y el menor no sea mayor que $2$ .

1 El número $n{}$ contiene $k{}$ unidades en el sistema binario. Demuestre que $2^{n-k}{}$ divide a $n!$ .

4 Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes enteros para el cual existe un entero positivo n tal que las partes reales de todas las raíces de $P(x)$ son menores que $n- \frac{1}{2}$ , el polinomio $x-n+1$ no divide a $P(x)$ , y $P(n)$ es un número primo. Demuestre que el polinomio $P(x)$ es irreducible (sobre $Z[x]$ ) .

10 Dado un triángulo equilátero $ABC$ y un punto $M$ en el plano ( $ABC$ ) . Sean $A', B', C'$ respectivamente los simétricos respecto de $M$ de los puntos $A, B, C$ . I. Demuestre que existe un único punto $P$ equidistante de $A$ y $B'$ , de $B$ y $C'$ y de $C$ y $A'$ . II. Sea $D$ el punto medio del lado $AB$ . Cuando $M$ varía ( $M$ no coincide con $D$ ) , demuestre que la circunferencia circunscrita del triángulo $MNP$ ( $N$ es la intersección de la recta $DM$ con $AP$ ) pasa por un punto fijo.

11 Sea $A{}$ un conjunto con $n{}$ $(n\geq3)$ elementos. Las iteraciones $f^2,f^2,\ldots$ de la función $f:A\rightarrow A$ se definen como $f^2(x)=f(f(x)), f^{i+1}=f(f^i(x)), \forall i\geq2$ . Halle el número de funciones $f:A\rightarrow A$ con la propiedad: la función $f^{n-2}$ es constante, pero $f^{n-3}$ no lo es.

12 Suponga que en cierta sociedad, cada par de personas puede clasificarse como amistoso u hostil . Diremos que cada miembro de un par amistoso es amigo del otro, y cada miembro de un par hostil es enemigo del otro. Suponga que la sociedad tiene $\, n \,$ personas y $\, q \,$ pares amistosos, y que para todo conjunto de tres personas, al menos un par es hostil. Demuestre que hay al menos un miembro de la sociedad cuyos enemigos incluyen $\, q(1 - 4q/n^2) \,$ o menos pares amistosos.

1 Demuestre que $\frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}$ es un número compuesto.

2 Demuestra que no hay cuadrados perfectos en el arreglo siguiente: \[\begin{array}{cccc}11&111&1111&...\\22&222&2222&...\\33&333&3333&...\\44&444&4444&...\\55&555&5555&... \\66&666&6666&...\\77&777&7777&...\\88&888&8888&...\\99&999&9999&...\end{array}\]

2 Un cuadrilátero convexo tiene diagonales iguales. Sobre el exterior de cada lado del cuadrilátero se construye un triángulo equilátero. Se unen los centros de los triángulos sobre lados opuestos. Demuestre que las dos rectas de unión son perpendiculares. Formulación alternativa. Dado un cuadrilátero convexo $ ABCD$ con diagonales congruentes $ AC = BD.$ Se erigen cuatro triángulos regulares exteriormente sobre sus lados. Demuestre que los segmentos que unen los centroides de los triángulos sobre lados opuestos son perpendiculares entre sí. Formulación original: Sea $ ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $ AC = BD.$ Se construyen triángulos equiláteros sobre los lados del cuadrilátero. Sean $ O_1,O_2,O_3,O_4$ los centros de los triángulos construidos sobre $ AB,BC,CD,DA$ respectivamente. Demuestre que $ O_1O_3$ es perpendicular a $ O_2O_4.$

3 Sea $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ una función definida como el máximo de un número finito de funciones $g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ de la forma $g(x)=C\cdot10^{-|x-d|}$ (con diferentes valores de los parámetros $d{}$ y $C>0$ ) . Para números reales $a<b$ tenemos $f(a)=f(b)$ . Demuestre que en el segmento $[a;b]$ la suma de las longitudes de los segmentos en los que $f$ es creciente es igual a la suma de las longitudes de los segmentos en los que $f$ es decreciente.