1 Nueve pesas están colocadas en una balanza con los respectivos valores $1kg,2kg,...,9kg$ . ¿De cuántas maneras podemos colocar seis pesas en el lado izquierdo y tres pesas en el lado derecho de modo que el lado derecho sea más pesado que el izquierdo?

3 Sean $a,b$ y $c$ números reales positivos tales que $a^5+b^5+c^5=ab^2+bc^2+ca^2$ . Demuestre la desigualdad: $$\frac{a^2+b^2}{b}+\frac{b^2+c^2}{c}+\frac{c^2+a^2}{a}\geq 2(ab+bc+ca).$$

2 Un número natural $n$ está escrito en la pizarra. Ben juega un juego de la siguiente manera: en cada paso borra el número escrito en la pizarra y escribe el número que es tres unidades mayor o dos unidades menor que el número que ha borrado. ¿Es posible que para todo valor de $n$ , en algún momento, llegue al número $2020$ ?

3 Sea $\triangle ABC$ un triángulo. Sea $O$ el circuncentro del triángulo $\triangle ABC$ y $P$ un punto variable en el segmento $BC$ . La circunferencia con centro $P$ y radio $PA$ interseca la circunferencia circunscrita del triángulo $\triangle ABC$ nuevamente en otro punto $R$ , y $RP$ interseca la circunferencia circunscrita del triángulo $\triangle ABC$ nuevamente en otro punto $Q$ . Demuestre que los puntos $A$ , $O$ , $P$ y $Q$ son concíclicos.

4 Sean $p$ y $q$ números primos. Demuestre que $p^2+q^2+2020$ es compuesto.

1 Sea $x\in\mathbb{R}$ . ¿Cuál es el valor máximo de la siguiente expresión: $\sqrt{x-2018} + \sqrt{2020-x}$ ?

2 Ana horneó 15 empanadas. Las colocó en un plato redondo de forma circular: 7 de col, 7 de carne y 1 de cerezas en ese orden exacto, y puso el plato en un microondas. Ella no sabe cómo ha sido rotado el plato en el microondas. Quiere comer una empanada de cerezas. ¿Es posible que Ana, probando no más de tres empanadas, encuentre exactamente dónde está la empanada de cerezas?

3 Halle todos los números primos $p$ tales que $3^p + 5^p -1$ es un número primo.

4 Sean $B'$ y $C'$ puntos en la circunferencia circunscrita del triángulo $\triangle ABC$ tales que $AB=AB'$ y $AC=AC'$ . Sean $E$ y $F$ los pies de las alturas desde $B$ y $C$ hacia $AC$ y $AB$ , respectivamente. Demuestre que $B'E$ y $C'F$ se intersecan sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $\triangle ABC$ .

1 Algunos enteros positivos, cuya suma es $23$ , están escritos en forma secuencial. Ni uno de los términos ni la suma de algunos términos consecutivos de la sucesión es igual a $3$ . a) ¿Es posible que la sucesión contenga exactamente $11$ términos? b) ¿Es posible que la sucesión contenga exactamente $12$ términos?