3 Se da un triángulo $ABC$ . La mediana $CM$ interseca a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $N$ . Se eligen $P$ y $Q$ sobre los rayos $CA$ y $CB$ respectivamente, tales que $PM$ es paralelo a $BN$ y $QM$ es paralelo a $AN$ . Se eligen los puntos $X$ y $Y$ sobre los segmentos $PM$ y $QM$ respectivamente, tales que tanto $PY$ como $QX$ son tangentes a la circunferencia circunscrita de $ABC$ . Sea $Z$ la intersección de $PY$ y $QX$ . Demuestre que el cuadrilátero $MXZY$ es circunscrito.

Determine el número de enteros $k$ para los cuales existen enteros positivos $a_1,a_2,\dots,a_{2025}$ (no necesariamente distintos) tales que \[ \frac1{a_1}+\frac2{a_2}+\cdots+\frac{2025}{a_{2025}}=k. \]

4 Se da un triángulo $ABC$ con $AC=BC$ y se elige un punto $D$ sobre el lado $AC$ . $S1$ es una circunferencia que es tangente a $AD$ y a las prolongaciones de $AB$ y $BD$ , con radio $R$ y centro $O_1$ . $S2$ es una circunferencia que es tangente a $CD$ y a las prolongaciones de $BC$ y $BD$ , con radio $2R$ y centro $O_2$ . Sea $F$ la intersección de la prolongación de $AB$ y la tangente en $O_2$ a la circunferencia circunscrita de $BO_1O_2$ . Demuestre que $FO_1=O_1O_2$ .

5 Se da un número natural $n>1$ . Sea $I$ un conjunto de enteros primos relativos con $n$ . Defina la función $f:I=>N$ . Llamamos a una función $k-periodic$ si para cualesquiera $a,b$ , $f(a)=f(b)$ siempre que $ k|a-b $ . Sabemos que $f$ es $n-periodic$ . Demuestre que el período mínimo de $f$ divide a todos los demás períodos. Ejemplo: si $n=6$ y $f(1)=f(5)$ entonces el período mínimo es 1; si $f(1)$ no es igual a $f(5)$ entonces el período mínimo es 3.

Se da un triángulo $ABC$ con $\angle BAC=60^\circ$ . La circunferencia circunscrita de $ABC$ es $\Omega$ , y el ortocentro de $ABC$ es $H$ . Sea $S$ el punto medio del arco $BC$ de $\Omega$ que no contiene a $A$ . Se eligió un punto $P$ sobre $\Omega$ tal que $\angle HPS=90^\circ$ . Demuestre que existe una circunferencia que pasa por $P$ y $S$ y es tangente a las rectas $AB$ , $AC$ .

Sea $n$ un entero positivo y sea $p$ un número primo de la forma $8k+5$ . Un polinomio $Q$ de grado a lo sumo $2023$ y con coeficientes enteros no negativos menores o iguales que $n$ se llamará «cool» si \[p\mid Q(2)\cdot Q(3) \cdot \ldots \cdot Q(p-2)-1.\] Demuestre que el número de polinomios cool es par.

En el triángulo $ABC$ el incentro es $I$ . El centro de la circunferencia exinscrita opuesta a $A$ es $I_A$ , y esta es tangente a $BC$ en $D$ . El punto medio del arco $BAC$ es $N$ , y $NI$ corta de nuevo a $(ABC)$ en $T$ . El centro de $(AID)$ es $K$ . Demuestre que $TI_A\perp KI$ .

Sean $0<c<1$ y $n$ un entero positivo. Alicia y Bob están jugando un juego. Bob escribe $n$ enteros en el tablero, no todos iguales. En el turno de un jugador, este borra dos números del tablero y escribe en su lugar su media aritmética. Alicia empieza y realiza a lo sumo $cn$ movimientos. Después de ella, Bob hace movimientos hasta que solo quedan dos números en el tablero. Alicia gana si estos dos números son distintos; en caso contrario, gana Bob. ¿Para qué valores de $c$ gana Alicia para todo $n$ suficientemente grande?

5 ¿Puede cualquier triángulo ideal ser trasladado al interior de $D$ mediante una isometría?

Sea $ABC$ un triángulo y sea $D$ un punto de $BC$ tal que $AD$ biseca al ángulo $\angle BAC$ . Las tangentes comunes de las circunferencias $(BAD)$ y $(CAD)$ se cortan en el punto $A'$ . Los puntos $B'$ y $C'$ se definen de manera análoga. Demuestre que $A'$ , $B'$ , $C'$ son colineales.