4 Al comienzo del año escolar en una de las clases de primer grado: $i)$ cada estudiante tenía exactamente $20$ conocidos $ii)$ cada dos estudiantes que se conocían entre sí tenían exactamente $13$ conocidos en común $iii)$ cada dos estudiantes que no se conocían entre sí tenían exactamente $12$ conocidos en común Halle el número de estudiantes de esta clase

1 Halle todas las soluciones reales de la ecuación: $$x=\frac{2z^2}{1+z^2}$$ $$y=\frac{2x^2}{1+x^2}$$ $$z=\frac{2y^2}{1+y^2}$$

3 Halle todos los enteros $n$ tales que $n^4-8n+15$ es el producto de dos enteros consecutivos

4 Problema 4 para el grado

1 Si $x$ e $y$ son números reales tales que $x^{2013}+y^{2013}>x^{2012}+y^{2012}$ , demuestre que $x^{2014}+y^{2014}>x^{2013}+y^{2013}$

2 En el triángulo $ABC$ , $\angle ACB=50^{\circ}$ y $\angle CBA=70^{\circ}$ . Sea $D$ el pie de la perpendicular trazada desde el punto $A$ al lado $BC$ , $O$ el circuncentro de $ABC$ y $E$ el antípoda de $A$ en la circunferencia circunscrita de $ABC$ . Halle $\angle DAE$

3 Halle el mayor entero positivo $p$ tal que $5^7$ es la suma de $p$ enteros positivos consecutivos

1 Resuelva la ecuación $$x^2-\sqrt{a-x}=a$$ donde $x$ es un número real y $a$ es un parámetro real

4 $a)$ ¿Es posible, en un tablero de ajedrez modificado $20 \times 30$ , trazar una recta que corte exactamente $50$ casillas, donde las casillas del tablero son cuadrados de $1 \times 1$ ? $b)$ ¿Cuál es el número máximo de casillas que una recta puede cortar en un tablero $m \times n$ , $m,n \in \mathbb{N}$ ?

2 Sean $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ , $f$ y $g$ siete enteros positivos distintos no mayores que $7$ . Halle todos los primos que pueden expresarse como $abcd+efg$