C2 Para enteros positivos $m,n \geq 2$, sea $S_{m,n} = \{(i,j): i \in \{1,2,\ldots,m\}, j\in \{1,2,\ldots,n\}\}$ una cuadrícula de $mn$ puntos reticulares en el plano coordenado. Determina todos los pares $(m,n)$ para los cuales existe un polígono simple $P$ con vértices en $S_{m,n}$ tal que todos los puntos de $S_{m,n}$ están en la frontera de $P$, todos los ángulos interiores de $P$ son $90^{\circ}$ o $270^{\circ}$ y todas las longitudes de los lados de $P$ son $1$ o $3$.

C1 Determina todos los enteros $n \geq 3$ para los cuales existe una configuración de $n$ puntos en el plano, sin tres colineales, que pueda etiquetarse del $1$ al $n$ de dos maneras distintas, de modo que se cumpla la siguiente condición: Para cada terna $(i,j,k)$, $1 \leq i < j < k \leq n$, el triángulo $ijk$ en un etiquetado tenga la misma orientación que el triángulo etiquetado $ijk$ en el otro, excepto para $(i,j,k) = (1,2,3)$.

Fija un entero $n \geq 2$ y sean $a_1, \ldots, a_n$ enteros, con $a_1 = 1$. Sea $$ f(x) = \sum_{m=1}^n a_m m^x. $$ Supón que $f(x) = 0$ para $K$ valores enteros positivos consecutivos de $x$. En términos de $n$, determina el valor máximo posible de $K$.

A1 Determina todos los polinomios $P$ con coeficientes reales que satisfacen la siguiente condición: siempre que $x$ y $y$ sean números reales tales que $P(x)$ y $P(y)$ sean ambos racionales, entonces $P(x + y)$ también lo es.

7 Seyed tiene 998 monedas blancas, una moneda roja y una moneda inusual con un lado rojo y un lado blanco. No puede ver el color de las monedas; en cambio, tiene un escáner que verifica si todos los lados de las monedas que tocan el vidrio del escáner son blancos. ¿Existe algún algoritmo para encontrar la moneda roja usando el escáner como máximo 17 veces? Propuesto por Seyed Reza Hosseini

5 Abolf está en el segundo escalón de una escalera hacia el cielo; en cada escalón de esta escalera, excepto el primero, que es el infierno, hay un demonio que es humano, elfo o demonio y tienta a Abolf. El demonio en el segundo escalón es el propio Satán en una de sus tres formas. Cada vez que un elfo o un demonio intenta tentar a Abolf, él se resiste y sube un escalón, pero cuando un humano tienta a Abolf, este es engañado y por tanto baja un escalón. Sin embargo, si Abolf es engañado por Satán por primera vez, se resiste y no cae al infierno, pero la segunda vez cae al infierno eterno. Cada vez que un demonio hace una tentación, cambia su forma de humano, elfo o demonio a elfo, demonio o humano, respectivamente. Demuestra que Abolf pasa por cada escalón después de algún tiempo. Propuesto por Yaser Ahmadi Fouladi

4 Dado un grafo con $99$ vértices y grados en $\{81,82,\dots,90\}$, demuestra que existen $10$ vértices de este grafo con grados iguales y un vecino común. Propuesto por Alireza Alipour

a) Se tienen $1399$ puntos y algunas cuerdas entre ellos. En cada paso podemos tomar dos cuerdas $RS,PQ$ con un punto en común distinto de $P,Q,R,S$ y borrar exactamente una de $RS,PQ$ y trazar $PS,PR,QS,QR$. Sea $s$ el mínimo de cuerdas después de algunos pasos. Encuentra el máximo de $s$ sobre todas las configuraciones iniciales. b) En cada paso podemos tomar dos cuerdas $RS,PQ$ con un punto en común distinto de $P,Q,R,S$ y borrar ambas $RS,PQ$ y trazar $PS,PR,QS,QR$. Sea $s$ el mínimo de cuerdas después de algunos pasos. Encuentra el máximo de $s$ sobre todas las configuraciones iniciales. Propuesto por Afrouz Jabalameli, Abolfazl Asadi

2 Morteza y Amir Reza juegan el siguiente juego. Primero, cada uno lanza un dado $100$ veces en fila para construir un número de $100$ dígitos con dígitos $1,2,3,4,5,6$; luego, simultáneamente gritan un número del $1$ al $100$ y escriben el dígito correspondiente al número que gritó la otra persona en su número de $100$ dígitos. Si ambos jugadores escriben $6$, ambos ganan; de lo contrario, ambos pierden. ¿Tienen una estrategia con probabilidad de ganar mayor que $\frac{1}{36}$? Propuesto por Morteza Saghafian

1 En una liga de fútbol con $2020$ equipos, cada dos equipos han jugado exactamente una vez y ningún partido ha terminado en empate. Los equipos participantes se ordenan primero por sus puntos (3 puntos por victoria, 1 punto por empate, 0 puntos por derrota) y luego por su diferencia de goles (goles a favor menos goles en contra) en una tabla de fútbol normal. ¿Es posible que la diferencia de goles en dicha tabla sea estrictamente creciente de arriba hacia abajo? Propuesto por Abolfazl Asadi