1 $x$ , $y$ y $z$ son reales positivos tales que $x+y+z=xyz$ . Halle el valor mínimo de: \[ x^7(yz-1)+y^7(zx-1)+z^7(xy-1) \]

Problema A1 de la Shortlist BMO 2017. Sean $ a $ , $ b$ , $ c$ números reales positivos tales que $abc= 1 $ . Demuestra que $$\frac{1}{a^{5}+b^{5}+c^{2}}+\frac{1}{b^{5}+c^{5}+a^{2}}+\frac{1}{c^{5}+b^{5}+b^{2}}\leq 1 . $$

6 Demuestra que para todo número real \(t\) tal que \(0 < t < \tfrac{1}{2}\) existe un entero positivo \(n\) con la siguiente propiedad: para todo conjunto \(S\) de \(n\) enteros positivos existen dos elementos diferentes \(x\) y \(y\) de \(S\), y un entero no negativo \(m\) (es decir, \(m \ge 0\)), tales que \[ |x-my|\leq ty.\] Determina si para todo número real \(t\) tal que \(0 < t < \tfrac{1}{2}\) existe un conjunto infinito \(S\) de enteros positivos tal que \[|x-my| > ty\] para todo par de elementos diferentes \(x\) y \(y\) de \(S\) y todo entero positivo \(m\) (es decir, \(m > 0\)).

5 Sea $\Gamma$ el circuncírculo del triángulo $ABC$. Un círculo $\Omega$ es tangente al segmento $AB$ y es tangente a $\Gamma$ en un punto que está en el mismo lado de la recta $AB$ que $C$. La bisectriz del ángulo $\angle BCA$ corta a $\Omega$ en dos puntos distintos $P$ y $Q$. Demuestra que $\angle ABP = \angle QBC$.

4 Un dominó es una ficha de $1 \times 2$ o $2 \times 1$. Sea $n \ge 3$ un entero. Se colocan dominós en un tablero de $n \times n$ de tal manera que cada dominó cubre exactamente dos celdas del tablero, y los dominós no se superponen. El valor de una fila o columna es el número de dominós que cubren al menos una celda de esa fila o columna. La configuración se llama balanceada si existe algún $k \ge 1$ tal que cada fila y cada columna tiene un valor de $k$. Demuestra que existe una configuración balanceada para todo $n \ge 3$, y encuentra el número mínimo de dominós necesarios en tal configuración.

Los $n$ concursantes de la EGMO se llaman $C_1, C_2, \cdots C_n$. Después de la competencia, hacen fila frente al restaurante según las siguientes reglas. El Jurado elige el orden inicial de los concursantes en la fila. Cada minuto, el Jurado elige un entero $i$ con $1 \leq i \leq n$. Si la concursante $C_i$ tiene al menos $i$ otras concursantes delante de ella, paga un euro al Jurado y avanza en la fila exactamente $i$ posiciones. Si la concursante $C_i$ tiene menos de $i$ otras concursantes delante de ella, el restaurante abre y el proceso termina. Demuestra que el proceso no puede continuar indefinidamente, sin importar las elecciones del Jurado. Determina para cada $n$ el número máximo de euros que el Jurado puede recolectar eligiendo astutamente el orden inicial y la secuencia de movimientos.

2 Considera el conjunto \[A = \left\{1+\frac{1}{k} : k=1,2,3,4,\cdots \right\}.\] Demuestra que todo entero \(x \geq 2\) puede escribirse como el producto de uno o más elementos de \(A\), que no necesariamente son distintos. Para cada entero \(x \geq 2\), sea \(f(x)\) el entero mínimo tal que \(x\) puede escribirse como el producto de \(f(x)\) elementos de \(A\), que no necesariamente son distintos. Demuestra que existen infinitas parejas \((x,y)\) de enteros con \(x\geq 2\), \(y \geq 2\), y \[f(xy)<f(x)+f(y).\] (Las parejas \((x_1,y_1)\) y \((x_2,y_2)\) son diferentes si \(x_1 \neq x_2\) o \(y_1 \neq y_2\)).

1 Sea $ABC$ un triángulo con $CA=CB$ y $\angle{ACB}=120^\circ$, y sea $M$ el punto medio de $AB$. Sea $P$ un punto variable de la circunferencia circunscrita de $ABC$, y sea $Q$ el punto del segmento $CP$ tal que $QP = 2QC$. Se da que la recta que pasa por $P$ y es perpendicular a $AB$ interseca a la recta $MQ$ en un único punto $N$. Demuestra que existe una circunferencia fija tal que $N$ se encuentra sobre esta circunferencia para todas las posiciones posibles de $P$.

3 Un tetraedro se llama MEMO-tetraedro si sus seis longitudes de lado son enteros positivos distintos, donde una de ellas es \( 2 \) y una de ellas es \( 3 \). Sea \( l(T) \) la suma de las longitudes de lado del tetraedro \( T \). (a) Encuentra todos los enteros positivos \( n \) tales que existe un MEMO-tetraedro \( T \) con \( l(T)=n \). (b) ¿Cuántos MEMO-tetraedros \( T \) no congruentes entre sí por pares que satisfacen \( l(T)=2007 \) existen? Se dice que dos tetraedros son no congruentes si uno no puede obtenerse del otro mediante una composición de reflexiones en planos, traslaciones y rotaciones. (No es necesario probar que los tetraedros no son degenerados, es decir, que tienen volumen positivo). Yimin

4 Sea $p$ un primo y $m \geq 2$ un entero. Demuestra que la ecuación \[ \frac{ x^p + y^p } 2 = \left( \frac{ x+y } 2 \right)^m \] tiene una solución entera positiva $(x, y) \neq (1, 1)$ si y solo si $m = p$ . Rumania Valentin