A6 Sea $n$ un entero positivo, y sea $f(n)$ el último dígito distinto de cero en la expansión decimal de $n!$. $(\text a)$ Demuestra que si $a_1,a_2,\ldots,a_k$ son enteros no negativos distintos, entonces $f(5^{a_1}+5^{a_2}+\ldots+5^{a_k})$ depende únicamente de la suma $a_1+a_2+\ldots+a_k$. $(\text b)$ Suponiendo la parte $(\text a)$, podemos definir $$g(s)=f(5^{a_1}+5^{a_2}+\ldots+5^{a_k}),$$ donde $s=a_1+a_2+\ldots+a_k$. Encuentra el menor entero positivo $p$ para el cual $$g(s)=g(s+p),\enspace\text{para todo }s\ge1,$$ o demuestra que no existe tal $p$.

B1 Sea $n$ un entero positivo, y define $f(n)=1!+2!+\ldots+n!$. Encuentra polinomios $P$ y $Q$ tales que $$f(n+2)=P(n)f(n+1)+Q(n)f(n)$$ para todo $n\ge1$.

B2 Encuentra el valor mínimo de \[ (u-v)^2+\left(\sqrt{2-u^2}-\frac{9}{v}\right)^2 \] para $0<u<\sqrt{2}$ y $v>0$

B3 Demuestra o refuta la siguiente afirmación: Si $F$ es un conjunto finito con dos o más elementos, entonces existe una operación binaria $*$ en $F$ tal que para todos $x,y,z$ en $F$, $(\text{i})$ $x*z=y*z$ implica $x=y$ $(\text{ii})$ $x*(y*z)\ne(x*y)*z$

B4 Encuentra, con demostración, todas las funciones reales $y=g(x)$ definidas y continuas en $[0,\infty)$, positivas en $(0,\infty)$, tales que para todo $x>0$ la coordenada $y$ del centroide de la región $$R_x=\{(s,t)\mid0\le s\le x,\enspace0\le t\le g(s)\}$$ es la misma que el valor promedio de $g$ en $[0,x]$.

B5 Para cada entero no negativo $k$, sea $d(k)$ el número de unos en la expansión binaria de $k$. Sea $m$ un entero positivo. Expresa $$\sum_{k=0}^{2^m-1}(-1)^{d(k)}k^m$$ en la forma $(-1)^ma^{f(m)}g(m)!$, donde $a$ es un entero y $f$ y $g$ son polinomios.

B6 Una sucesión de polígonos convexos $(P_n), n\ge 0,$ se define inductivamente de la siguiente manera. $P_0$ es un triángulo equilátero de lado $1$. Una vez que se ha determinado $P_n$, sus lados se trisecan; los vértices de $P_{n+1}$ son los puntos de trisección interiores de los lados de $P_n$. Expresa $\lim_{n\to\infty}[P_n]$ en la forma $\frac{\sqrt a}{b}$, donde $a,b$ son enteros.

A1 ¿Cuántos enteros positivos $n$ hay tales que $n$ es un divisor exacto de al menos uno de los números $10^{40}$ y $20^{30}$?

El horario de un reloj tiene longitud 3, el minutero tiene longitud 4. Determina la distancia entre los extremos de las manecillas en el momento en que su distancia aumenta más.

10.5 Demuestre que para todos los valores reales no negativos de $a$ , $b$ y $c$ se cumple la siguiente desigualdad: \[ a^3 + 64b^3 + 729c^3 \ge 6a^2\sqrt{bc} + 48b^2\sqrt{ac} + 162c^2\sqrt{ab}. \]